Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de 0,2 \mathrm{~mm}. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de 0,32 \mathrm{~mm}, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
\sigma=\mathrm{k}
\epsilon
n
\mathrm{k}=1217(\mathrm{MPa}) e \mathrm{n}=0,13
Limite de escoamento =669 \mathrm{MPa}
Limite de Resistência =983 \mathrm{MPa}
A redução de área máxima permitida por fieira é \mathrm{RA}=14 \%
O atrito nas fieiras é \mu=0,14
CALCULE:
Raio final da primeira fieira

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo em que pegamos os números do enunciado):
  • Quantidade de fieiras: 10.
  • Diâmetro inicial do fio: d_0 = 0,32\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro final desejado: d_f = 0,20\\ \mathrm{mm}.
  • Redução de área máxima permitida por fieira: \mathrm{RA}_{\max}=14\% (ou seja \mathrm{RA}_{\max}=0,14 em fração).
  • Atrito, Hollomon e limites mecânicos foram fornecidos, mas a pergunta solicitada é apenas: calcular o raio final da primeira fieira. Para isso só precisamos das informações sobre diâmetros e do número de fieiras.
  • O que se pede: o raio do fio depois da primeira fieira (ou seja, o raio imediatamente após o primeiro passe).

Passo 2

Estratégia e justificativa (assunções usadas):
  • Vou assumir que a redução de área é distribuída igualmente entre as 10 fieiras (essa é a forma mais comum e simples de planejar passes quando se tem limite máximo por passe). Ou seja, em cada passe a área é reduzida pela mesma fração \mathrm{RA}.
  • Explicação do conceito usado (bem didático): a secção transversal do fio é circular, com área
A=\pi r^{2},
onde r é o raio. Se em cada passe a área é multiplicada por um fator k (com k=1-\mathrm{RA}), então após m passes a área total é multiplicada por k^{m}. Assim, entre inicial e final vale:
A_{f}=A_{0}\,k^{10}.
Como A\propto r^{2}, isso também implica
\left(\dfrac{r_{f}}{r_{0}}\right)^{2}=k^{10}.
Essa é a fórmula básica que vamos usar. Variáveis:
  • r_{0}: raio inicial (meio do diâmetro inicial d_{0}).
  • r_{f}: raio final (meio do diâmetro final d_{f}).
  • k: fator por passe para a área, k=1-\mathrm{RA}.
  • \mathrm{RA}: fração de redução de área por passe (o mesmo em cada uma das 10 fieiras, segundo a suposição).

Passo 3

Calcular razão de áreas (ou de raios) entre final e inicial:
  • Primeiro calculemos os raios inicial e final:
r_{0}=\dfrac{d_{0}}{2}=\dfrac{0,32}{2}=0,16\\ \mathrm{mm}, \qquad r_{f}=\dfrac{d_{f}}{2}=\dfrac{0,20}{2}=0,10\\ \mathrm{mm}.
  • A razão das áreas é
\dfrac{A_{f}}{A_{0}}=\left(\dfrac{r_{f}}{r_{0}}\right)^{2}=\left(\dfrac{0,10}{0,16}\right)^{2}=\left(0,625\right)^{2}=0,390625.
Isto significa que, no total, a área ficou com 39{,}0625\% do valor inicial (ou foi reduzida em 60{,}9375\%).

Passo 4

Encontrar a redução de área por passe (igual em cada uma das 10 fieiras):
  • Se em cada passe a área é multiplicada por k, então após 10 passes
k^{10}=\dfrac{A_{f}}{A_{0}}=0,390625.
  • Logo
k=\left(0,390625\right)^{1/10}.
  • Calculando (uso de logaritmo/exponenciação; explicando levemente): para tirar raiz décima usa-se exponenciação fracionária. Numericamente
k \approx e^{\frac{1}{10}\ln(0,390625)} \approx e^{-0,0940}\approx 0,9103.
  • A redução de área por passe é então
\mathrm{RA}=1-k\approx 1-0,9103=0,0897,
ou seja \mathrm{RA}\approx 8{,}97\% por passe.
  • Verificação rápida contra o máximo permitido: \mathrm{RA}\approx 0{,}0897 < \mathrm{RA}_{\max}=0{,}14, portanto esta distribuição é admissível.

Passo 5

Calcular o raio após a primeira fieira:
  • Sabendo que k=1-\mathrm{RA} é o fator que multiplica a área num passe, a área após o primeiro passe é
A_{1}=A_{0}\,k.
  • Logo o raio após o primeiro passe r_{1} satisfaz
r_{1}=r_{0}\sqrt{k}.
  • Substituindo os valores:
\sqrt{k}=\sqrt{0,9103}\approx 0,9546,
r_{1}=0,16\cdot 0,9546\approx 0,1527\\ \mathrm{mm}.
  • Arredondando de forma sensata (três algarismos significativos) fica r_{1}\approx 0,153\\ \mathrm{mm}.

Resposta

r_{1}\approx 0,153\\ \mathrm{mm}

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