Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de
. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de
, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
n
e
Limite de escoamento
Limite de Resistência
A redução de área máxima permitida por fieira é
O atrito nas fieiras é
CALCULE:
Raio final da primeira fieira
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de
n
Limite de escoamento
Limite de Resistência
A redução de área máxima permitida por fieira é
O atrito nas fieiras é
Raio final da primeira fieira
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo em que pegamos os números do enunciado):
- Quantidade de fieiras:
. - Diâmetro inicial do fio:
. - Diâmetro final desejado:
. - Redução de área máxima permitida por fieira:
(ou seja em fração). - Atrito, Hollomon e limites mecânicos foram fornecidos, mas a pergunta solicitada é apenas: calcular o raio final da primeira fieira. Para isso só precisamos das informações sobre diâmetros e do número de fieiras.
- O que se pede: o raio do fio depois da primeira fieira (ou seja, o raio imediatamente após o primeiro passe).
Passo 2
Estratégia e justificativa (assunções usadas):
- Vou assumir que a redução de área é distribuída igualmente entre as
fieiras (essa é a forma mais comum e simples de planejar passes quando se tem limite máximo por passe). Ou seja, em cada passe a área é reduzida pela mesma fração . - Explicação do conceito usado (bem didático): a secção transversal do fio é circular, com área
onde
é o raio. Se em cada passe a área é multiplicada por um fator
(com
), então após
passes a área total é multiplicada por
. Assim, entre inicial e final vale:
Como
, isso também implica
Essa é a fórmula básica que vamos usar. Variáveis:
-
: raio inicial (meio do diâmetro inicial ). -
: raio final (meio do diâmetro final ). -
: fator por passe para a área, . -
: fração de redução de área por passe (o mesmo em cada uma das 10 fieiras, segundo a suposição).
Passo 3
Calcular razão de áreas (ou de raios) entre final e inicial:
- Primeiro calculemos os raios inicial e final:
- A razão das áreas é
Isto significa que, no total, a área ficou com
do valor inicial (ou foi reduzida em
).
Passo 4
Encontrar a redução de área por passe (igual em cada uma das 10 fieiras):
- Se em cada passe a área é multiplicada por
, então após 10 passes
- Logo
- Calculando (uso de logaritmo/exponenciação; explicando levemente): para tirar raiz décima usa-se exponenciação fracionária. Numericamente
- A redução de área por passe é então
ou seja
por passe.
- Verificação rápida contra o máximo permitido:
, portanto esta distribuição é admissível.
Passo 5
Calcular o raio após a primeira fieira:
- Sabendo que
é o fator que multiplica a área num passe, a área após o primeiro passe é
- Logo o raio após o primeiro passe
satisfaz
- Substituindo os valores:
- Arredondando de forma sensata (três algarismos significativos) fica
.