Deseja-se projetar um controlador que faça com que o sistema se comporte como um sistema de segundo grau, com máximo sobressinal de 10 \% e tempo de estabelecimento de 1 s (critério de 2 \% ), qual deve ser a taxa de amortecimento \xi e a frequência natural \omega_{n} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se projetar parâmetros de um sistema de segundo ordem (razão de amortecimento e frequência natural) de modo que:
    • máximo sobressinal igual a 10\% (isto é, M_p = 0,10);
    • tempo de estabelecimento igual a 1\\ \text{s} segundo o critério de 2\% (isto é, T_s(2\%) = 1\\ \text{s}).
  • Informações relevantes dadas:
    • M_p = 0{,}10.
    • T_s(2\%) = 1\\ \text{s}.

Passo 2

Entendendo a relação entre máximo sobressinal M_p e razão de amortecimento \xi.
Para um sistema de segunda ordem subamortecido padrão, a resposta ao degrau possui máximo sobressinal dado por
M_p = e^{-\frac{\pi \xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}.
Aqui:
  • \xi é a razão de amortecimento (damping ratio);
  • M_p é o máximo sobressinal em fração (por exemplo 0,10 para 10\%).
    Essa fórmula vem da expressão do pico da resposta subamortecida, onde o termo exponencial determina a altura do pico relativo ao valor em regime.
Queremos achar \xi a partir de M_p. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln(M_p) = -\frac{\pi \xi}{\sqrt{1-\xi^2}}.
Isolando \xi (passo algébrico padrão): ele resulta na fórmula conhecida
\xi = -\frac{\ln(M_p)}{\sqrt{\pi^2 + \left(\ln(M_p)\right)^2}}.
Explico rapidamente: quadrando ambos os lados e reorganizando chega-se a essa expressão que dá \xi explicitamente em função de M_p.

Passo 3

Calcular numericamente \xi para M_p=0{,}10.
Primeiro calcule \ln(M_p):
\ln(0{,}10) = -2{,}302585093\ldots
Agora aplique a fórmula:
\xi = -\dfrac{\ln(0{,}10)}{\sqrt{\pi^{2} + \bigl(\ln(0{,}10)\bigr)^{2}}}.
Calcule passo a passo:
\bigl(\ln(0{,}10)\bigr)^{2} = (-2{,}302585093)^{2} = 5{,}30189811\ldots
\pi^{2} \approx 9{,}869604401
\pi^{2} + \bigl(\ln(0{,}10)\bigr)^{2} \approx 9{,}869604401 + 5{,}30189811 = 15{,}17150251
\sqrt{15{,}17150251} \approx 3{,}896164\ldots
\xi \approx \dfrac{2{,}302585093}{3{,}896164} \approx 0{,}5912.
Interpretação rápida: \xi\approx 0{,}591 corresponde a um sistema subamortecido (entre 0 e 1) que dará ~10% de overshoot.

Passo 4

Entendendo a relação entre tempo de estabelecimento T_s, \xi e \omega_n.
A envoltória exponencial da resposta subamortecida decai como e^{-\xi \omega_n t}. Pelo critério de 2\% queremos que, no tempo de estabelecimento T_s,
a amplitude da envoltória tenha decaído até 2\% do valor de regime. Logo, impondo
e^{-\xi \omega_n T_s} = 0{,}02,
tomando logaritmo:
-\xi \omega_n T_s = \ln(0{,}02) \quad\Rightarrow\quad T_s = -\dfrac{\ln(0{,}02)}{\xi \omega_n}.
Observação: muitos livros usam a aproximação T_s \approx \dfrac{4}{\xi \omega_n} para o critério de 2\% (porque -\ln(0{,}02)\approx 3{,}912 e arredonda-se para 4). Aqui usamos a forma exata com -\ln(0{,}02) para maior precisão:
-\ln(0{,}02) \approx 3{,}912023005.

Passo 5

Calcular \omega_n usando T_s(2\%)=1\\ \text{s} e \xi já obtido.
Da fórmula
T_s = -\dfrac{\ln(0{,}02)}{\xi \omega_n}
isolamos \omega_n:
\omega_n = -\dfrac{\ln(0{,}02)}{\xi \, T_s}.
Substituindo T_s=1\\ \text{s}, \xi\approx 0{,}5912 e -\ln(0{,}02)\approx 3{,}912023,
\omega_n \approx \dfrac{3{,}912023}{0{,}5912 \cdot 1} \approx 6{,}62\\ \text{rad/s}.
Se alguém preferir a aproximação rápida T_s\approx 4/(\xi\omega_n), então teria \omega_n\approx 4/(0{,}5912\cdot1)\approx 6{,}77\\ \text{rad/s}. A diferença é pequena; eu usei a forma com -\ln(0{,}02) por maior precisão.

Resposta

\xi \approx 0{,}5912
\omega_{n} \approx 6{,}62\\ \mathrm{rad/s}

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