Deseja-se projetar um controlador que faça com que o sistema se comporte como um sistema de segundo grau, com máximo sobressinal de
e tempo de estabelecimento de 1 s (critério de
), qual deve ser a taxa de amortecimento
e a frequência natural
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se projetar parâmetros de um sistema de segundo ordem (razão de amortecimento e frequência natural) de modo que:
- máximo sobressinal igual a
(isto é, ); - tempo de estabelecimento igual a
segundo o critério de (isto é, ).
- máximo sobressinal igual a
- Informações relevantes dadas:
-
. -
.
-
Passo 2
Entendendo a relação entre máximo sobressinal
e razão de amortecimento
.
Para um sistema de segunda ordem subamortecido padrão, a resposta ao degrau possui máximo sobressinal dado por
Aqui:
-
é a razão de amortecimento (damping ratio); -
é o máximo sobressinal em fração (por exemplo para ).
Essa fórmula vem da expressão do pico da resposta subamortecida, onde o termo exponencial determina a altura do pico relativo ao valor em regime.
Queremos achar
a partir de
. Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
(passo algébrico padrão): ele resulta na fórmula conhecida
Explico rapidamente: quadrando ambos os lados e reorganizando chega-se a essa expressão que dá
explicitamente em função de
.
Passo 3
Calcular numericamente
para
.
Primeiro calcule
:
Agora aplique a fórmula:
Calcule passo a passo:
Interpretação rápida:
corresponde a um sistema subamortecido (entre 0 e 1) que dará ~10% de overshoot.
Passo 4
Entendendo a relação entre tempo de estabelecimento
,
e
.
A envoltória exponencial da resposta subamortecida decai como
. Pelo critério de
queremos que, no tempo de estabelecimento
,
a amplitude da envoltória tenha decaído até do valor de regime. Logo, impondo
a amplitude da envoltória tenha decaído até
tomando logaritmo:
Observação: muitos livros usam a aproximação
para o critério de
(porque
e arredonda-se para
). Aqui usamos a forma exata com
para maior precisão:
Passo 5
Calcular
usando
e
já obtido.
Da fórmula
isolamos
:
Substituindo
,
e
,
Se alguém preferir a aproximação rápida
, então teria
. A diferença é pequena; eu usei a forma com
por maior precisão.