A função de transferência de um determinado sistema é: G=\frac{1}{s^{2}+3 s+2}, qual será a resposta do sistema a uma entrada degrau unitária.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência e pede a resposta ao degrau unitário. Informações e pedido extraídos do enunciado:
  • Função de transferência: G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+3s+2}.
  • Entrada: degrau unitário u(t) (ou seja, u(t)=1 para t\ge0).
  • Pedido: determinar a saída y(t) do sistema para t\ge0 (resposta ao degrau unitário).
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática e sem pular etapas):
  • Para sistemas lineares invariantes, trabalhamos no domínio de Laplace: a transformada de y(t) é Y(s)=G(s)\,U(s), onde U(s) é a transformada da entrada u(t).
  • A transformada de Laplace do degrau unitário u(t) é U(s)=\dfrac{1}{s} (válido para \Re(s)>0). Isto é uma fórmula básica: \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
  • Logo, primeiro passo concreto será formar Y(s)=G(s)\,U(s)=\dfrac{1}{s(s^{2}+3s+2)}.
  • Em seguida, aplicamos decomposição em frações parciais para escrever Y(s) como soma de termos simples cujo inverso de Laplace é imediato.
  • Finalmente, fazemos a transformada inversa termo a termo para obter y(t).

Passo 3

Formar Y(s) e fatorar o denominador:
Y(s)=G(s)\,U(s)=\frac{1}{s\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)}.
Fatorando o polinômio quadrático:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Portanto
Y(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}.

Passo 4

Decomposição em frações parciais (montar a forma a ser encontrada):
Procuramos constantes A, B, C tais que
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando em ambos os lados por s(s+1)(s+2) obtemos a identidade polinomial
1=A(s+1)(s+2)+B\,s(s+2)+C\,s(s+1).
Para achar A,B,C de forma direta, avaliamos em valores de s que anulam fatores:
  • Tomando s=0:
1=A(0+1)(0+2)=2A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.
  • Tomando s=-1:
1=B(-1)(-1+2)=B(-1)(1)=-B \quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Tomando s=-2:
1=C(-2)(-2+1)=C(-2)(-1)=2C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}.
Assim:
\frac{1}{s(s+1)(s+2)}=\frac{1/2}{s}+\frac{-1}{s+1}+\frac{1/2}{s+2}.

Passo 5

Aplicar transformada inversa termo a termo. Lembrando as transformadas inversas básicas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (degrau unitário),
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t} para t\ge0.
Usando isso em cada termo:
y(t)=\frac{1}{2}\cdot 1 \;+\; (-1)\cdot e^{-t} \;+\; \frac{1}{2}\cdot e^{-2t},\qquad t\ge0.
Ou seja,
y(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\qquad t\ge0.

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança na resposta):
  • Valor inicial pelo teorema do valor inicial: \displaystyle y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)=\lim_{s\to\infty}\frac{s}{s(s+1)(s+2)}=\lim_{s\to\infty}\frac{1}{s^{2}+3s+2}=0. Avaliando a expressão temporal em t=0: \tfrac{1}{2}-1+\tfrac{1}{2}=0. OK.
  • Valor final pelo teorema do valor final: \displaystyle y(\infty)=\lim_{s\to0}sY(s)=\lim_{s\to0}\frac{s}{s(s+1)(s+2)}=\frac{1}{(0+1)(0+2)}=\frac{1}{2}. Avaliando o limite temporal: \displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(\tfrac{1}{2}-e^{-t}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}\right)=\tfrac{1}{2}. OK.
  • Observação física: o ganho DC de G é G(0)=\dfrac{1}{0^{2}+0+2}=\dfrac{1}{2}, então para degrau unitário o estado estacionário será 1\cdot G(0)=\tfrac{1}{2}, consistente.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t},\qquad t\ge0

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