A função de transferência de um determinado sistema é:
, qual será a resposta do sistema a uma entrada degrau unitária.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência e pede a resposta ao degrau unitário. Informações e pedido extraídos do enunciado:
- Função de transferência:
. - Entrada: degrau unitário
(ou seja, para ). - Pedido: determinar a saída
do sistema para (resposta ao degrau unitário).
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática e sem pular etapas):
- Para sistemas lineares invariantes, trabalhamos no domínio de Laplace: a transformada de
é , onde é a transformada da entrada . - A transformada de Laplace do degrau unitário
é (válido para ). Isto é uma fórmula básica: . - Logo, primeiro passo concreto será formar
. - Em seguida, aplicamos decomposição em frações parciais para escrever
como soma de termos simples cujo inverso de Laplace é imediato. - Finalmente, fazemos a transformada inversa termo a termo para obter
.
Passo 3
Formar
e fatorar o denominador:
Fatorando o polinômio quadrático:
Portanto
Passo 4
Decomposição em frações parciais (montar a forma a ser encontrada):
Procuramos constantes ,
,
tais que
Procuramos constantes
Multiplicando em ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para achar
de forma direta, avaliamos em valores de
que anulam fatores:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Assim:
Passo 5
Aplicar transformada inversa termo a termo. Lembrando as transformadas inversas básicas:
-
(degrau unitário), -
para .
Usando isso em cada termo:
Ou seja,
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança na resposta):
- Valor inicial pelo teorema do valor inicial:
. Avaliando a expressão temporal em : . OK. - Valor final pelo teorema do valor final:
. Avaliando o limite temporal: . OK. - Observação física: o ganho DC de
é , então para degrau unitário o estado estacionário será , consistente.