Deseja-se resfriar um alimento sólido embalado em uma lata cilíndrica de 12 cm de comprimento por 6 cm de raio. O alimento está inicialmente a 95^{\circ} \mathrm{C} e o meio de resfriamento é água a 2^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e a embalagem é igual a 200 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. a) Sabendo que as propriedades termofísicas do alimento são: \mathrm{k}=0,36 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ; \rho=950 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}=3,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} K, determine a temperatura do centro do alimento embalado depois de 3 horas; b) Qual o erro cometido ao se considerar a lata como um cilindro infinito? Justifica sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados geométricos da lata (peguei do enunciado):
    • comprimento L=12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m},
    • raio r_0=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Condições térmicas:
    • temperatura inicial do alimento T_i=95^\circ\mathrm{C},
    • temperatura do meio de resfriamento (água) T_\infty=2^\circ\mathrm{C},
    • coeficiente de convecção h=200\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}.
  • Propriedades termofísicas do alimento (peguei do enunciado):
    • condutividade térmica k=0{,}36\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{K}^{-1},
    • densidade \rho=950\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3},
    • calor específico c=3{,}9\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}=3900\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
  • Tempo pedido:
    • t=3\\ \text{horas}=10800\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) determinar a temperatura do centro do alimento após 3 horas;
(b) dizer qual é o erro cometido ao considerar a lata como um cilindro infinito e justificar.

Passo 2

Vou verificar qual modelo usar (lumped, cilindro infinito radial, ou considerar efeitos axiais também). Primeiro calculo a difusividade térmica e o número de Biot característico.
  • difusividade térmica:
\alpha=\frac{k}{\rho c}=\frac{0{,}36}{950\cdot 3900}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
Calculo numérico:
\rho c = 950\cdot 3900 = 3\,705\,000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}, \qquad \alpha=\frac{0{,}36}{3\,705\,000}\approx 9{,}72\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • comprimento característico para o critério de lumped (usa-se L_c=V/A quando há superfícies múltiplas):
    • volume do cilindro V=\pi r_0^2 L=\pi(0{,}06)^2(0{,}12)\approx 0{,}001357\\ \mathrm{m}^3,
    • área total de troca (lateral + tampas) A=2\pi r_0 L + 2\pi r_0^2.
      Calculo:
2\pi r_0 L = 2\pi(0{,}06)(0{,}12)\approx 0{,}045239\\ \mathrm{m}^2, \qquad 2\pi r_0^2 = 2\pi(0{,}06)^2\approx 0{,}022619\\ \mathrm{m}^2,
A\approx 0{,}045239+0{,}022619=0{,}067858\\ \mathrm{m}^2.
L_c=\frac{V}{A}\approx\frac{0{,}001357}{0{,}067858}\approx 0{,}0200\\ \mathrm{m}.
  • número de Biot usando L_c:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{200\cdot 0{,}0200}{0{,}36}\approx 11{,}11.
Interpretação: como \mathrm{Bi}\gg 0{,}1, o modelo de árvore “lumped” (corpo perfeitamente homogêneo) NÃO é válido. Há resistência térmica interna importante — precisamos considerar condução interna. Portanto devemos usar uma solução de difusão transiente. Como a geometria é cilindro com comprimentos finitos, há condução radial e axial. Uma aproximação prática e comum (usada em provas) é usar a decomposição aproximada (Heisler/ separação): a temperatura no centro do cilindro finito pode ser aproximada pelo produto da solução radial para cilindro infinito e da solução axial para uma placa (slab) de meia-espessura L/2. Vou seguir essa aproximação: ela é bem aceita quando se quer incluir o efeito das tampas sem recorrer à solução completa de série 2D. Antes disso calculo números adimensionais úteis.
  • tempo adimensional (Fourier) usando r_0 como escala:
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{r_0^2}=\frac{9{,}72\times 10^{-8}\cdot 10800}{(0{,}06)^2}.
Cálculo:
\alpha t \approx 9{,}72\times 10^{-8}\cdot 10800 \approx 1{,}0497\times 10^{-3}, \qquad r_0^2=0{,}0036,
\mathrm{Fo}\approx\frac{1{,}0497\times 10^{-3}}{0{,}0036}\approx 0{,}2916.
Conclusão deste passo: lumped inválido ( \mathrm{Bi}\approx 11{,}1), vamos usar aproximação composta: solução radial para cilindro infinito (para captar condução radial) multiplicada pela solução axial (placa de meia-espessura L/2) para capturar efeito das tampas.

Passo 3

Explico as fórmulas que vou usar (aulas rápidas): primeiras aproximações por termos dominantes.
  1. Solução radial (cilindro infinito, superfície mantida praticamente a temperatura do fluido quando \mathrm{Bi} grande). Para o caso homogêneo inicial e superfície rapidamente obrigatória, a solução em série para a temperatura adimensional no centro ( \rho=0) de um cilindro com superfície a T_\infty é, no caso de superfície mantida a zero (caso limite de \mathrm{Bi}\to\infty), a série:
\theta_{\text{rad}}(\tau)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_n J_1(\lambda_n)}\exp(-\lambda_n^2 \tau)
onde \theta=(T-T_\infty)/(T_i-T_\infty), \tau=\mathrm{Fo}, e \lambda_n são as raízes de J_0(\lambda_n)=0. O primeiro zero é \lambda_1\approx 2{,}4048. Para \mathrm{Bi} grande (aqui \mathrm{Bi}'=h r_0/k\approx 33{,}3 — muito grande), o caso Dirichlet ( T_\text{superf}=T_\infty) é uma boa aproximação; então uso apenas o primeiro termo da série (primeira aproximação de termo dominante), ou seja:
\theta_{\text{rad}}\approx \frac{2}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)}\exp(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}).
Explicando as variáveis:
  • \lambda_1 é o primeiro autovalor da função de Bessel J_0;
  • J_1 é a função de Bessel de 1ª ordem avaliada em \lambda_1;
  • \mathrm{Fo}=\alpha t/r_0^2 (já calculei).
  1. Solução axial (placa de meia-espessura a=L/2): para uma placa de espessura 2a com centro em x=0 e convecção nas faces x=\pm a, no limite de \mathrm{Bi} grande a superfície é aproximadamente mantida à temperatura do fluido. A solução para o centro, pelo primeiro termo da série (caso Dirichlet nas faces), é:
\theta_{\text{axial}}\approx \frac{4}{\pi}\exp\!\Big(-\frac{\pi^2}{4}\,\mathrm{Fo}_{\text{ax}}\Big),
onde \mathrm{Fo}_{\text{ax}}=\alpha t/a^2 e a=L/2. Aqui o coeficiente 4/\pi é o prefator do primeiro termo na série para uma placa com superfícies mantidas à temperatura de referência.
  1. Combinação (aproximação de Heisler / produto): uma aproximação prática para o centro do cilindro finito é:
\theta_{\text{centro}}\approx \theta_{\text{rad}}\cdot \theta_{\text{axial}}.
Justificativa curta: quando não se tem a solução completa em duas direções, o produto das soluções unidimensionais (radial e axial) fornece uma estimativa razoável do decaimento da temperatura no centro — é uma aproximação amplamente usada em engenharia (Heisler / separação aproximada).
Vou agora aplicar estes passos numericamente.

Passo 4

Cálculos numéricos — resolução do termo radial (cilindro infinito, primeiro termo).
  • primeiro autovalor da equação J_0(\lambda)=0: \lambda_1\approx 2{,}404825.
  • J_1(\lambda_1) (valor conhecido numericamente): J_1(2{,}404825)\approx 0{,}519147.
  • prefator radial:
A_{\text{rad}}=\frac{2}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)}\approx\frac{2}{2{,}404825\cdot 0{,}519147}\approx 1{,}6020.
  • expoente radial:
\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}=(2{,}404825)^2\cdot 0{,}2916\approx 5{,}7832\cdot 0{,}2916\approx 1{,}6864.
  • termo exponencial:
\exp(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo})\approx \exp(-1{,}6864)\approx 0{,}1852.
  • portanto
\theta_{\text{rad}}\approx A_{\text{rad}}\exp(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo})\approx 1{,}6020\cdot 0{,}1852\approx 0{,}2964.
Interpretação: se a lata fosse um cilindro infinitamente longo (ou seja, sem tampas), a fração adimensional da diferença de temperatura no centro depois de 3 h seria aproximadamente 0{,}2964.

Passo 5

Cálculos numéricos — resolução do termo axial (placa de meia-espessura a=L/2).
  • meia-espessura a=L/2=0{,}12/2=0{,}06\\ \mathrm{m} (note que é igual ao raio neste caso).
  • \mathrm{Fo}_{\text{ax}}=\dfrac{\alpha t}{a^2}=\dfrac{9{,}72\times10^{-8}\cdot 10800}{(0{,}06)^2}=\mathrm{Fo} (iguala o Fo radial porque a=r_0 aqui), ou seja \mathrm{Fo}_{\text{ax}}=0{,}2916.
  • coeficiente do primeiro termo para a placa (Dirichlet):
\frac{4}{\pi}\approx 1{,}2732395.
  • expoente axial:
\frac{\pi^2}{4}\,\mathrm{Fo}_{\text{ax}} \approx 2{,}4674\cdot 0{,}2916\approx 0{,}7193.
  • termo exponencial:
\exp\!\Big(-\frac{\pi^2}{4}\,\mathrm{Fo}_{\text{ax}}\Big)\approx \exp(-0{,}7193)\approx 0{,}4876.
  • portanto
\theta_{\text{axial}}\approx \frac{4}{\pi}\exp\!\Big(-\frac{\pi^2}{4}\,\mathrm{Fo}_{\text{ax}}\Big)\approx 1{,}27324\cdot 0{,}4876\approx 0{,}6208.
Interpretação: a condução axial (do centro até as tampas) sozinha manteria no centro cerca de 62{,}08\% da diferença inicial (quando normalizada).

Passo 6

Combinação das duas direções para estimar a temperatura no centro do cilindro finito.
  • produto:
\theta_{\text{centro}}\approx \theta_{\text{rad}}\cdot\theta_{\text{axial}}\approx 0{,}2964\cdot 0{,}6208\approx 0{,}1839.
  • converte para temperatura:
T_{\text{centro}}=T_\infty + \theta_{\text{centro}}(T_i-T_\infty).
T_i-T_\infty = 95-2 = 93\\ ^\circ\mathrm{C}.
T_{\text{centro}}\approx 2 + 0{,}1839\cdot 93 \approx 2 + 17{,}109 \approx 19{,}109^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente, a temperatura do centro após 3 horas é cerca de 19{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Agora avalio o erro ao tratar a lata como cilindro infinito (isto é, desprezar as tampas).
  • já calculei a estimativa para o cilindro infinito (somente radial, do Passo 4):
\theta_{\text{rad}} \approx 0{,}2964 \quad\Rightarrow\quad T_{\text{inf}}\approx 2 + 0{,}2964\cdot 93 \approx 29{,}565^\circ\mathrm{C}.
  • comparação com o resultado mais realista (cilindro finito) T_{\text{centro}}\approx 19{,}109^\circ\mathrm{C}.
  • diferença absoluta (overestimação):
\Delta T = T_{\text{inf}} - T_{\text{centro}} \approx 29{,}565 - 19{,}109 \approx 10{,}456^\circ\mathrm{C}.
  • erro percentual relativo ao valor “correto” estimado:
\text{erro percentual}\approx \frac{\Delta T}{T_{\text{centro}}}\times 100\%\approx \frac{10{,}456}{19{,}109}\times 100\%\approx 54{,}7\%.
Justificativa física e qualitativa:
  • ao considerar o cilindro infinito remove-se a troca de calor pelas tampas. No nosso caso a área das tampas não é desprezível:
    • área lateral =2\pi r_0 L\approx 0{,}04524\\ \mathrm{m}^2,
    • áreas das tampas juntas =2\pi r_0^2\approx 0{,}02262\\ \mathrm{m}^2,
    • as tampas representam cerca de 33{,}3\% da área total ( 0{,}02262/0{,}067858\approx 0{,}333).
  • portanto, desprezar as tampas significa subestimar fortemente a remoção de calor total, levando a uma previsão de resfriamento muito mais lenta (temperatura central muito maior).
  • a aproximação produto (radial × axial) que usei é uma forma simples de incluir o efeito das tampas; o cálculo mostrou que o erro é grande (≈ 10{,}5^\circ\mathrm{C} absoluto ou ≈ 55\% relativo). Logo, não é aceitável modelar este caso como cilindro infinito quando L é da mesma ordem de magnitude que o diâmetro (aqui L=2r_0), porque as tampas têm influência significativa.

Resposta

T_{\text{centro}}(t=3\\ \mathrm{h})\approx 19{,}1^\circ\mathrm{C}
Erro ao tratar como cilindro infinito: diferença aproximada \Delta T\approx 10{,}46^\circ\mathrm{C} (superestimação da temperatura central de aproximadamente 54{,}7\%).