Deseja-se resfriar um alimento sólido embalado em uma lata cilíndrica de 12 cm de comprimento por 6 cm de raio. O alimento está inicialmente a
e o meio de resfriamento é água a
coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e a embalagem é igual a 200
. a) Sabendo que as propriedades termofísicas do alimento são:
e
K, determine a temperatura do centro do alimento embalado depois de 3 horas; b) Qual o erro cometido ao se considerar a lata como um cilindro infinito? Justifica sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados geométricos da lata (peguei do enunciado):
- comprimento
, - raio
.
- comprimento
-
Condições térmicas:
- temperatura inicial do alimento
, - temperatura do meio de resfriamento (água)
, - coeficiente de convecção
.
- temperatura inicial do alimento
-
Propriedades termofísicas do alimento (peguei do enunciado):
- condutividade térmica
, - densidade
, - calor específico
.
- condutividade térmica
-
Tempo pedido:
-
.
-
O enunciado pede:
(a) determinar a temperatura do centro do alimento após 3 horas;
(b) dizer qual é o erro cometido ao considerar a lata como um cilindro infinito e justificar.
(a) determinar a temperatura do centro do alimento após 3 horas;
(b) dizer qual é o erro cometido ao considerar a lata como um cilindro infinito e justificar.
Passo 2
Vou verificar qual modelo usar (lumped, cilindro infinito radial, ou considerar efeitos axiais também). Primeiro calculo a difusividade térmica e o número de Biot característico.
- difusividade térmica:
Calculo numérico:
- comprimento característico para o critério de lumped (usa-se
quando há superfícies múltiplas): - volume do cilindro
, - área total de troca (lateral + tampas)
.
Calculo:
- volume do cilindro
- número de Biot usando
:
Interpretação: como
, o modelo de árvore “lumped” (corpo perfeitamente homogêneo) NÃO é válido. Há resistência térmica interna importante — precisamos considerar condução interna. Portanto devemos usar uma solução de difusão transiente. Como a geometria é cilindro com comprimentos finitos, há condução radial e axial. Uma aproximação prática e comum (usada em provas) é usar a decomposição aproximada (Heisler/ separação): a temperatura no centro do cilindro finito pode ser aproximada pelo produto da solução radial para cilindro infinito e da solução axial para uma placa (slab) de meia-espessura
. Vou seguir essa aproximação: ela é bem aceita quando se quer incluir o efeito das tampas sem recorrer à solução completa de série 2D. Antes disso calculo números adimensionais úteis.
- tempo adimensional (Fourier) usando
como escala:
Cálculo:
Conclusão deste passo: lumped inválido (
), vamos usar aproximação composta: solução radial para cilindro infinito (para captar condução radial) multiplicada pela solução axial (placa de meia-espessura
) para capturar efeito das tampas.
Passo 3
Explico as fórmulas que vou usar (aulas rápidas): primeiras aproximações por termos dominantes.
- Solução radial (cilindro infinito, superfície mantida praticamente a temperatura do fluido quando
grande). Para o caso homogêneo inicial e superfície rapidamente obrigatória, a solução em série para a temperatura adimensional no centro ( ) de um cilindro com superfície a é, no caso de superfície mantida a zero (caso limite de ), a série:
onde
,
, e
são as raízes de
. O primeiro zero é
. Para
grande (aqui
— muito grande), o caso Dirichlet (
) é uma boa aproximação; então uso apenas o primeiro termo da série (primeira aproximação de termo dominante), ou seja:
Explicando as variáveis:
-
é o primeiro autovalor da função de Bessel ; -
é a função de Bessel de 1ª ordem avaliada em ; -
(já calculei).
- Solução axial (placa de meia-espessura
): para uma placa de espessura com centro em e convecção nas faces , no limite de grande a superfície é aproximadamente mantida à temperatura do fluido. A solução para o centro, pelo primeiro termo da série (caso Dirichlet nas faces), é:
onde
e
. Aqui o coeficiente
é o prefator do primeiro termo na série para uma placa com superfícies mantidas à temperatura de referência.
- Combinação (aproximação de Heisler / produto): uma aproximação prática para o centro do cilindro finito é:
Justificativa curta: quando não se tem a solução completa em duas direções, o produto das soluções unidimensionais (radial e axial) fornece uma estimativa razoável do decaimento da temperatura no centro — é uma aproximação amplamente usada em engenharia (Heisler / separação aproximada).
Vou agora aplicar estes passos numericamente.
Passo 4
Cálculos numéricos — resolução do termo radial (cilindro infinito, primeiro termo).
- primeiro autovalor da equação
: . -
(valor conhecido numericamente): . - prefator radial:
- expoente radial:
- termo exponencial:
- portanto
Interpretação: se a lata fosse um cilindro infinitamente longo (ou seja, sem tampas), a fração adimensional da diferença de temperatura no centro depois de 3 h seria aproximadamente
.
Passo 5
Cálculos numéricos — resolução do termo axial (placa de meia-espessura
).
- meia-espessura
(note que é igual ao raio neste caso). -
(iguala o Fo radial porque aqui), ou seja . - coeficiente do primeiro termo para a placa (Dirichlet):
- expoente axial:
- termo exponencial:
- portanto
Interpretação: a condução axial (do centro até as tampas) sozinha manteria no centro cerca de
da diferença inicial (quando normalizada).
Passo 6
Combinação das duas direções para estimar a temperatura no centro do cilindro finito.
- produto:
- converte para temperatura:
Arredondando razoavelmente, a temperatura do centro após 3 horas é cerca de
.
Passo 7
Agora avalio o erro ao tratar a lata como cilindro infinito (isto é, desprezar as tampas).
- já calculei a estimativa para o cilindro infinito (somente radial, do Passo 4):
- comparação com o resultado mais realista (cilindro finito)
. - diferença absoluta (overestimação):
- erro percentual relativo ao valor “correto” estimado:
Justificativa física e qualitativa:
- ao considerar o cilindro infinito remove-se a troca de calor pelas tampas. No nosso caso a área das tampas não é desprezível:
- área lateral
, - áreas das tampas juntas
, - as tampas representam cerca de
da área total ( ).
- área lateral
- portanto, desprezar as tampas significa subestimar fortemente a remoção de calor total, levando a uma previsão de resfriamento muito mais lenta (temperatura central muito maior).
- a aproximação produto (radial × axial) que usei é uma forma simples de incluir o efeito das tampas; o cálculo mostrou que o erro é grande (≈
absoluto ou ≈ relativo). Logo, não é aceitável modelar este caso como cilindro infinito quando é da mesma ordem de magnitude que o diâmetro (aqui ), porque as tampas têm influência significativa.
Resposta
Erro ao tratar como cilindro infinito: diferença aproximada
(superestimação da temperatura central de aproximadamente
).