Deseja-se separar por destilação uma mistura F cuja composição é: x1 = 50%, x2 = 30% e x3 = 20 %. O destilado deve ter uma razão em quantidade de matéria destilado/carga (D/F) igual a 0,60 e uma composição x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um problema de destilação. A mistura que queremos separar (chamada de F) tem três componentes com as seguintes porcentagens: x₁ = 50%, x₂ = 30% e x₃ = 20%. O que queremos é obter um destilado (D) que seja 60% da carga total (D/F = 0,60) e que tenha uma composição específica. Para resolver isso, vamos precisar usar balanços de massa e entender um pouco sobre como a destilação funciona para separar componentes com diferentes volatilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa D/F = 0,60. Isso quer dizer que a quantidade de destilado (D) é 60% da carga inicial (F). Matemáticamente, podemos expressar isso como:
D = 0,60 times F
Isso nos ajuda a relacionar as quantidades de destilado e de carga.

Passo 3

Agora, vamos fazer um balanço de massa geral. A carga total (F) é igual à soma do destilado (D) e do resíduo (B):
F = D + B
Já sabemos que $ D = 0,60 \times F $, então podemos substituir na equação:
D = 0,60 times F
Resolvendo para B:
F = 0,60F + B
Então, o resíduo (B) é 40% da carga inicial.

Passo 4

Agora, vamos fazer os balanços de massa para cada componente. Vamos chamar as porcentagens no destilado de $ x_1^D $, $ x_2^D $ e $ x_3^D $, e no resíduo de $ x_1^B $, $ x_2^B $ e $ x_3^B $.
Para o componente 1:
x1^D
Para o componente 2:
x2^D
Para o componente 3:
x3^D

Passo 5

Vamos supor que o problema nos dá a composição do destilado, por exemplo, $ x_1^D = 80% $, $ x_2^D = 15% $ e $ x_3^D = 5% $. Com isso, podemos substituir na equação do componente 1:
x1^D = 80%
Simplificando:
x2^D = 15%
x3^D = 5%
Subtraindo 0,48 de ambos os lados:
F times 0,50 = (0,60F) times 0,80 + (0,40F) times x1^B
Dividindo por 0,40:
0,50 = 0,60 times 0,80 + 0,40 times x1^B

Passo 6

Repetindo esse processo para o componente 2:
0,30 = 0,60 times 0,15 + 0,40 times x2^B
0,30 = 0,09 + 0,40 times x2^B
0,21 = 0,40 times x2^B
x2^B = 0,525 ou 52,5%
E para o componente 3:
0,20 = 0,60 times 0,05 + 0,40 times x3^B
0,20 = 0,03 + 0,40 times x3^B
0,17 = 0,40 times x3^B
x3^B = 0,425 ou 42,5%

Resposta

Então, a composição do resíduo (B) é:
  • $ x_1^B = 5% $
  • $ x_2^B = 52,5% $
  • $ x_3^B = 42,5% $

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