Desenhe a célula unitária CFC e calcule o seu fator de empacotamento. Cite exemplos de materiais com estrutura CFC.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenhar a célula unitária CFC (cúbica de face centrada) — isto é, descrever onde ficam os átomos na célula unitária.
  • Calcular o fator de empacotamento (atomic packing factor, APF) da CFC.
  • Citar exemplos de materiais com estrutura CFC.
Informações relevantes (o enunciado não dá números; usaremos as relações geométricas padrão entre o parâmetro de rede e o raio atômico):
  • Na célula CFC há átomos em todos os oito vértices do cubo e em todos os seis centros das faces.
  • Precisaremos do número de átomos efetivos por célula, da relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r, do volume da célula e do volume ocupado pelos átomos.

Passo 2

Como é a célula unitária CFC — como desenhar e coordenadas:
  • Imagine um cubo de aresta \;a\;.
  • Há um átomo no centro de cada face do cubo e um átomo em cada vértice.
  • Para desenhar: faça um cubo e marque pontos nos 8 vértices e em cada face central (6 pontos nas faces). Os pontos nos vértices são frações de átomo (compartilhados com células vizinhas).
  • Coordenadas (em função de a) dos sítios (exemplos): \text{vértices: }(0,0,0),(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a),(a,a,0),(a,0,a),(0,a,a),(a,a,a).é
\text{centros de face: }\left(\tfrac{a}{2},0,\tfrac{a}{2}\right),\left(\tfrac{a}{2},a,\tfrac{a}{2}\right),\left(0,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right),\left(a,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right),\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0\right),\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},a\right).
  • Contribuição fracionária de cada átomo: \text{cada vértice contribui } \tfrac{1}{8},\quad 8\times\tfrac{1}{8}=1\\ \text{átomo (total dos vértices)},éáé
\text{cada centro de face contribui } \tfrac{1}{2},\quad 6\times\tfrac{1}{2}=3\\ \text{átomos (total das faces)}.á
  • Portanto o número total de átomos efetivos por célula é N = 1 + 3 = 4.

Passo 3

Relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r (por que e como deduzir):
  • Na CFC os átomos que tocam não estão ao longo da aresta do cubo, mas sim ao longo da diagonal da face.
  • Ao olhar uma face do cubo, você vê três centros de átomos em linha: um centro de face — vértice — centro de face. Quando dois átomos de face e o átomo de vértice tocam, a distância ao longo da diagonal da face vale quatro raios atômicos (dois raios de cada átomo que tocam no meio).
  • A diagonal da face tem comprimento \;a\sqrt{2}\;.
  • Logo a condição de contato é a\sqrt{2}=4r.
  • Resolvendo para a: a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
  • Explicação intuitiva rápida: pense na face como um quadrado; os dois átomos de face tocam o átomo do vértice entre eles, somando 4 raios ao longo da diagonal.

Passo 4

Volume da célula e volume ocupado pelos átomos:
  • Volume da célula cúbica: V_{\text{célula}}=a^{3}.é
  • Como temos N=4 átomos por célula e aproximamos cada átomo por uma esfera de raio r, o volume total ocupado pelas esferas é V_{\text{átomos}}=N\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • Substituímos a em termos de r para obter V_{\text{célula}}é em função de r: a=2\sqrt{2}\,r\quad\Rightarrow\quad a^{3}=(2\sqrt{2})^{3}r^{3}.
  • Calculemos (2\sqrt{2})^{3}: (2\sqrt{2})^{3}=2^{3}(\sqrt{2})^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
  • Portanto V_{\text{célula}}=16\sqrt{2}\,r^{3}.é

Passo 5

Cálculo do fator de empacotamento (APF):
  • Definição: o fator de empacotamento é a fração do volume da célula ocupada pelos átomos: \text{APF}=\frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{célula}}}.áé
  • Substituindo os volumes: \text{APF}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}}.
  • Simplificando (os fatores 16 e r^{3} cancelam): \text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  • Valor numérico: \text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 74{,}05\%.
  • Interpretação: cerca de 74{,}0\% do volume é ocupado por esferas rígidas (átomos), e o restante (~ 26{,}0\%) é espaço intersticial vazio.

Passo 6

Observações didáticas e comparações rápidas (úteis na prova):
  • A CFC (APF \approx 0{,}7405) e a HCP (hexagonal compacta) têm o maior empacotamento possível para esferas idênticas em 3D; ambos têm APF \approx 0{,}7405.
  • Estruturas mais “folhas” como cúbica simples (SC) têm APF baixa: para SC \text{APF}= \dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}524 — na prova pode ser útil comparar.
  • Contar contribuições fracionárias (vértices 1/8, faces 1/2) e usar a diagonal da face para a relação a vs r são passos padrão em qualquer exercício parecido; memorize-os.

Passo 7

Exemplos de materiais com estrutura CFC:
  • Metais puros com CFC (exemplos clássicos): alumínio ( \mathrm{Al}), cobre ( \mathrm{Cu}), prata ( \mathrm{Ag}), ouro ( \mathrm{Au}), níquel ( \mathrm{Ni}), platina ( \mathrm{Pt}), paládio ( \mathrm{Pd}), chumbo ( \mathrm{Pb}).
  • Cristais iônicos que usam uma sub-rede CFC: cloreto de sódio ( \mathrm{NaCl}) — a sub-rede de ânions forma uma CFC e os cátions ocupam os interstícios octaédricos (estrutura do tipo rock-salt).
  • Observação: a presença de uma sub-rede CFC não significa que o composto seja “metálico” — muitos sais têm a topologia CFC com bases diferentes.

Resposta

Célula unitária CFC: cubo com átomos nos 8 vértices e nos 6 centros de face (total de 4 átomos efetivos por célula).
Fator de empacotamento: \displaystyle \frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048 (ou 74{,}05\%).
Exemplos: \mathrm{Al},\\ \mathrm{Cu},\\ \mathrm{Ag},\\ \mathrm{Au},\\ \mathrm{Ni},\\ \mathrm{Pt},\\ \mathrm{Pd},\\ \mathrm{Pb}; e compostos com sub-rede CFC como \mathrm{NaCl}.

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