Desenhe a curva no plano fornecida pela função vetorial r(t) = (t, sen(t)), para t no intervalo [-pi, pi].

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para desenharmos a curva no plano que é fornecida pela função vetorial , onde t varia de -pi a pi. Vamos precisar entender sobre funções vetoriais e como elas representam curvas no plano. Vamos usar um pouco de trigonometria e conhecimentos básicos de gráficos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função vetorial está nos dizendo. Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto no plano com coordenadas e . Então, basicamente, estamos mapeando cada valor de t para um ponto cuja coordenada x é igual a t e a coordenada y é o seno de t.

Passo 3

Agora, vamos pensar no intervalo de t, que vai de -pi a pi. Sabemos que o seno é uma função periódica com período , e nesse intervalo, ela completa exatamente um ciclo completo, indo de -pi até pi. Então, vamos olhar para como o seno se comporta nesse intervalo.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos chave para ajudar no desenho:
  • Quando , temos e .
  • Quando , e .
  • Quando , x = 0 e .
  • Quando , e .
  • Quando , e .

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a desenhar a curva. No gráfico, o eixo horizontal representará o x (que é igual a t) e o eixo vertical representará o y (que é igual a ). Comectando os pontos que encontramos, teremos a forma da curva.

Passo 6

Vamos lembrar que o gráfico da função seno tem forma de onda, subindo até 1 e descendo até -1. Como nosso x está variando linearmente com t, a curva vai se estender horizontalmente de -pi a pi, enquanto o y oscila entre -1 e 1. Isso vai resultar em uma espécie de “onda” que se move da esquerda para a direita no intervalo dado.

Resposta

A curva no plano definida pela função vetorial para t no intervalo [-pi, pi] é uma onda senoidal que se estende horizontalmente de -pi a pi, com a coordenada y variando entre -1 e 1, formando uma sensação de onda que sobe e desce conforme t aumenta.

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