Desenhe uma rede recíproca de uma estrutura cúbica.

Passo 1

O que o enunciado pede: desenhar a rede recíproca de uma estrutura cúbica.
Informações dadas (implícitas): temos uma célula cúbica com parâmetro de rede que vou denotar por \;a\;. O enunciado não especificou se a cúbica é simples (SC), centrada no corpo (BCC) ou centrada nas faces (FCC).
Perguntas que preciso responder para cumprir o pedido:
  1. Qual é a forma da rede recíproca para uma cúbica simples?
  2. Como desenhar essa rede recíproca (passo a passo)?
  3. Qual a relação entre BCC e FCC com suas redes recíprocas (caso você precise desenhar outro tipo de cúbica)?

Passo 2

Escolha do caminho: como não foi especificado o tipo de cúbica, começo pela mais simples (cúbica simples) e depois mostro rapidamente as situações BCC↔FCC. Isso é útil na prova: geralmente pedem SC (mais direto) ou a relação BCC↔FCC (resultado padrão). Vou então derivar os vetores recíprocos e explicar por que eles satisfazem a definição de rede recíproca.
Definição (intuição + fórmula): a rede recíproca é o conjunto de vetores \mathbf{G} tais que \mathrm{e}^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1 para todo vetor de rede direta \mathbf{R}. Uma forma prática de calcular os vetores primitivos da recíproca é usar:
\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\quad \mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\quad \mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}.
Explicando cada símbolo: \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são os vetores primitivos da rede direta; o denominador \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) é o volume da célula primitiva (produto misto); o fator 2\pi aparece porque usamos a condição de fase \mathrm{e}^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1.

Passo 3

Aplicando ao caso cúbico simples (SC): escolha natural dos vetores primitivos diretos
\mathbf{a}_1 = a\,\hat{\mathbf{x}},\qquad \mathbf{a}_2 = a\,\hat{\mathbf{y}},\qquad \mathbf{a}_3 = a\,\hat{\mathbf{z}}.
Calcule o produto misto (volume da célula):
\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) = a\,\hat{\mathbf{x}}\cdot\big(a\,\hat{\mathbf{y}}\times a\,\hat{\mathbf{z}}\big) = a^3.
Agora os produto vetoriais no numerador, por exemplo
\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = a\,\hat{\mathbf{y}}\times a\,\hat{\mathbf{z}} = a^2\,\hat{\mathbf{x}}.
Substituindo na fórmula de \mathbf{b}_1:
\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{a^2\,\hat{\mathbf{x}}}{a^3} = \frac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{x}}.
Pelo mesmo raciocínio,
\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{y}},\qquad \mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{z}}.
Interpretação: os vetores primitivos recíprocos são vetores ortogonais com magnitude \tfrac{2\pi}{a}. Logo a rede recíproca de uma cúbica simples é outra cúbica simples, com passo (espacamento) \tfrac{2\pi}{a}.

Passo 4

Coordenadas dos pontos da rede recíproca e regra prática para desenhar: qualquer ponto da rede recíproca é
\mathbf{G} = h\,\mathbf{b}_1 + k\,\mathbf{b}_2 + l\,\mathbf{b}_3,
onde h,k,l são inteiros. Substituindo os \mathbf{b}_i obtidos:
\mathbf{G} = \frac{2\pi}{a}\,(h\,\hat{\mathbf{x}} + k\,\hat{\mathbf{y}} + l\,\hat{\mathbf{z}}).
Passo a passo prático para desenhar (sem calculadora, com régua e lápis):
  1. Escolha uma escala: por exemplo, faça que \tfrac{2\pi}{a} corresponda a 2 cm no papel (ou escolha a=1 para visualizar).
  2. Marque o ponto origem (0,0,0).
  3. Marque os pontos ao longo dos eixos em \pm\frac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{x}},\pm\frac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{y}},\pm\frac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{z}}. Esses são os vizinhos mais próximos.
  4. Complemente a grade tridimensional: desenhe paralelas nos três eixos com espaçamento \frac{2\pi}{a} formando uma malha cúbica (pontos nos nós da malha).
  5. Se quiser uma vista 2D no papel, projete a grade isometricamente: desenhe três eixos 120° entre si ou use projeção oblíqua (por exemplo, eixos x horizontal, y a 60° acima, z vertical) e marque os pontos de acordo com as combinações inteiras (h,k,l).
Dica visual simples: para a=1 os vizinhos estarão em (\pm 2\pi,0,0), (0,\pm 2\pi,0), (0,0,\pm 2\pi). No papel escolha uma escala que torne esses números manejáveis (por ex. mapear 2\pi\mapsto 2 cm).

Passo 5

Primeira zona de Brillouin (útil no desenho): a primeira zona de Brillouin é o celinha de Wigner–Seitz no recíproco, ou seja, o lugar geométrico dos pontos mais próximos da origem. Para SC, os vizinhos mais próximos estão em \pm\frac{2\pi}{a} ao longo dos eixos, então os planos perpendiculares aos eixos e a meio caminho ficam em \pm\frac{\pi}{a}. Consequentemente a primeira zona de Brillouin é um cubo com aresta \tfrac{2\pi}{a} e faces em k_x=\pm\tfrac{\pi}{a}, k_y=\pm\tfrac{\pi}{a}, k_z=\pm\tfrac{\pi}{a}. Para desenhar a BZ: trace as seis faces planas a essas coordenadas; em projeção isso aparece como um quadrado (ou um cubo em perspectiva).

Passo 6

Relação entre BCC e FCC (resultado padrão, importante para provas):
  • Se a rede direta é BCC com parâmetro de célula convencional \;a\;, a sua rede recíproca é FCC. O parâmetro da célula cúbica do recíproco (convencional) pode ser escrito como
a^* = \frac{4\pi}{a}.
  • Recíprocamente, se a rede direta é FCC com parâmetro a, a recíproca é BCC com parâmetro a^*=\tfrac{4\pi}{a}.
Breve intuição (sem derivar vetores primitivos longos): BCC tem posições de rede em pontos do tipo (0,0,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) da célula convencional; isso impõe condições na fase \mathrm{e}^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}} que resultam na estrutura FCC para a recíproca — é um resultado clássico que vale a pena memorizar para a prova.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para visualizar (pega a ideia e facilita desenhar sem contas trigonômétricas): escolha a=1. Então
\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\hat{\mathbf{x}},\quad \mathbf{b}_2 = 2\pi\,\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{b}_3 = 2\pi\,\hat{\mathbf{z}}.
Pontos recíprocos: (h,k,l)\cdot 2\pi (ex.: h=1,k=0,l=0 → ponto em (2\pi,0,0)). Primeiro BZ é cubo entre -\pi e +\pi em cada componente.

Passo 8

Resumo do procedimento de desenho (modo “faça você mesmo” para a prova):
  1. Identifique o tipo de cúbica: SC, BCC ou FCC. Se for SC, use os vetores do Passo 3. Se for BCC ou FCC, lembre da relação recíproca BCC↔FCC (Passo 6).
  2. Calcule os \mathbf{b}_i pela fórmula do Passo 2 (para SC dá \tfrac{2\pi}{a} nos eixos).
  3. Desenhe o grid com espaçamento \tfrac{2\pi}{a} ao longo dos eixos (pontos em combinações inteiras h,k,l).
  4. Se pedir a primeira zona de Brillouin, trace planos perpendiculares aos vetores que ficam a meia distância entre a origem e os vizinhos mais próximos (para SC: k_i=\pm\tfrac{\pi}{a}).

Resposta

Rede recíproca da cúbica simples (SC): rede cúbica simples com vetores primitivos \mathbf{b}_1=\dfrac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{x}},\; \mathbf{b}_2=\dfrac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{y}},\; \mathbf{b}_3=\dfrac{2\pi}{a}\,\hat{\mathbf{z}}.\nRecíproco de BCC: FCC (parâmetro convencional do recíproco a^*=\dfrac{4\pi}{a}).\nRecíproco de FCC: BCC (parâmetro convencional do recíproco a^*=\dfrac{4\pi}{a}).

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