Desenhe uma rede recíproca de uma estrutura cúbica.
Passo 1
O que o enunciado pede: desenhar a rede recíproca de uma estrutura cúbica.
Informações dadas (implícitas): temos uma célula cúbica com parâmetro de rede que vou denotar por . O enunciado não especificou se a cúbica é simples (SC), centrada no corpo (BCC) ou centrada nas faces (FCC).
Informações dadas (implícitas): temos uma célula cúbica com parâmetro de rede que vou denotar por
Perguntas que preciso responder para cumprir o pedido:
- Qual é a forma da rede recíproca para uma cúbica simples?
- Como desenhar essa rede recíproca (passo a passo)?
- Qual a relação entre BCC e FCC com suas redes recíprocas (caso você precise desenhar outro tipo de cúbica)?
Passo 2
Escolha do caminho: como não foi especificado o tipo de cúbica, começo pela mais simples (cúbica simples) e depois mostro rapidamente as situações BCC↔FCC. Isso é útil na prova: geralmente pedem SC (mais direto) ou a relação BCC↔FCC (resultado padrão). Vou então derivar os vetores recíprocos e explicar por que eles satisfazem a definição de rede recíproca.
Definição (intuição + fórmula): a rede recíproca é o conjunto de vetores
tais que
para todo vetor de rede direta
. Uma forma prática de calcular os vetores primitivos da recíproca é usar:
Explicando cada símbolo:
são os vetores primitivos da rede direta; o denominador
é o volume da célula primitiva (produto misto); o fator
aparece porque usamos a condição de fase
.
Passo 3
Aplicando ao caso cúbico simples (SC): escolha natural dos vetores primitivos diretos
Calcule o produto misto (volume da célula):
Agora os produto vetoriais no numerador, por exemplo
Substituindo na fórmula de
:
Pelo mesmo raciocínio,
Interpretação: os vetores primitivos recíprocos são vetores ortogonais com magnitude
. Logo a rede recíproca de uma cúbica simples é outra cúbica simples, com passo (espacamento)
.
Passo 4
Coordenadas dos pontos da rede recíproca e regra prática para desenhar: qualquer ponto da rede recíproca é
onde
são inteiros. Substituindo os
obtidos:
Passo a passo prático para desenhar (sem calculadora, com régua e lápis):
- Escolha uma escala: por exemplo, faça que
corresponda a 2 cm no papel (ou escolha para visualizar). - Marque o ponto origem (0,0,0).
- Marque os pontos ao longo dos eixos em
. Esses são os vizinhos mais próximos. - Complemente a grade tridimensional: desenhe paralelas nos três eixos com espaçamento
formando uma malha cúbica (pontos nos nós da malha). - Se quiser uma vista 2D no papel, projete a grade isometricamente: desenhe três eixos 120° entre si ou use projeção oblíqua (por exemplo, eixos
horizontal, a 60° acima, vertical) e marque os pontos de acordo com as combinações inteiras .
Dica visual simples: para
os vizinhos estarão em
,
,
. No papel escolha uma escala que torne esses números manejáveis (por ex. mapear
cm).
Passo 5
Primeira zona de Brillouin (útil no desenho): a primeira zona de Brillouin é o celinha de Wigner–Seitz no recíproco, ou seja, o lugar geométrico dos pontos mais próximos da origem. Para SC, os vizinhos mais próximos estão em
ao longo dos eixos, então os planos perpendiculares aos eixos e a meio caminho ficam em
. Consequentemente a primeira zona de Brillouin é um cubo com aresta
e faces em
,
,
. Para desenhar a BZ: trace as seis faces planas a essas coordenadas; em projeção isso aparece como um quadrado (ou um cubo em perspectiva).
Passo 6
Relação entre BCC e FCC (resultado padrão, importante para provas):
- Se a rede direta é BCC com parâmetro de célula convencional
, a sua rede recíproca é FCC. O parâmetro da célula cúbica do recíproco (convencional) pode ser escrito como
- Recíprocamente, se a rede direta é FCC com parâmetro
, a recíproca é BCC com parâmetro .
Breve intuição (sem derivar vetores primitivos longos): BCC tem posições de rede em pontos do tipo
e
da célula convencional; isso impõe condições na fase
que resultam na estrutura FCC para a recíproca — é um resultado clássico que vale a pena memorizar para a prova.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para visualizar (pega a ideia e facilita desenhar sem contas trigonômétricas): escolha
. Então
Pontos recíprocos:
(ex.:
→ ponto em
). Primeiro BZ é cubo entre
e
em cada componente.
Passo 8
Resumo do procedimento de desenho (modo “faça você mesmo” para a prova):
- Identifique o tipo de cúbica: SC, BCC ou FCC. Se for SC, use os vetores do Passo 3. Se for BCC ou FCC, lembre da relação recíproca BCC↔FCC (Passo 6).
- Calcule os
pela fórmula do Passo 2 (para SC dá nos eixos). - Desenhe o grid com espaçamento
ao longo dos eixos (pontos em combinações inteiras ). - Se pedir a primeira zona de Brillouin, trace planos perpendiculares aos vetores que ficam a meia distância entre a origem e os vizinhos mais próximos (para SC:
).
Resposta
Rede recíproca da cúbica simples (SC): rede cúbica simples com vetores primitivos
.\nRecíproco de BCC: FCC (parâmetro convencional do recíproco
).\nRecíproco de FCC: BCC (parâmetro convencional do recíproco
).