Desenhe o sólido que está entre a superfície z = 2xy / (x^2 + 1) e o plano z = x + 2y e é limitado pelos planos x = 0, x=2, y=0 e y = 4. A seguir, determine seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para desenhar o sólido que está entre a superfície e o plano , limitado pelos planos , , e . Além disso, precisamos determinar o volume desse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais duplas para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies envolvidas. Temos duas funções para :
Essas duas superfícies formam as “teto” e “fundo” do sólido. O sólido está entre elas, então precisamos descobrir onde essas superfícies se encontram para definir os limites de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas expressões para encontrar a curva de interseção:
Isso nos ajuda a entender como as superfícies se comportam em relação uma à outra dentro dos limites de e .

Passo 4

Agora, vamos identificar as áreas de integração. Os limites para são de 0 a 2, e para de 0 a 4, conforme dado no problema. Isso significa que vamos integrar sobre o retângulo definido por e .

Passo 5

O próximo passo é configurar a integral dupla para calcular o volume. A diferença entre as duas superfícies nos dará a “altura” do sólido em cada ponto :
Aqui, subtraímos a superfície inferior da superior para encontrar a altura em cada ponto.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a :
Integrando termo a termo:
Então, após integrar:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de :
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos que integrar essa expressão com relação a de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Para a última integral, podemos usar substituição. Seja , então , ou seja, . Assim:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Substituindo os limites de :
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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