Desenvolva de duas formas o produto
para obter a propriedade comutativa da adição.
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver o produto
, com
, de duas maneiras diferentes de modo a obter a propriedade comutativa da adição (isto é, mostrar que
).
Informações dadas: os elementos e
são inteiros; conheceremos e usaremos propriedades elementares dos inteiros: identidade multiplicativa
, a distributividade da multiplicação sobre a adição, a associatividade da adição, a existência de inversos aditivos (para todo
existe
) e a propriedade de cancelamento na adição (se
então
).
Informações dadas: os elementos
Passo 2
Primeira maneira: distribuir em relação ao segundo fator
. Usando distributividade e
, temos
Aplicando associatividade da adição para escrever sem parênteses, isso é
Passo 3
Segunda maneira: distribuir em relação ao primeiro fator
. Usando distributividade duas vezes e
, temos
Simplificando
e
, obtemos
Passo 4
Comparando as duas expansões do mesmo produto, concluímos
Esta igualdade é válida em
e usamos apenas propriedades já citadas.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de cancelamento na adição passo a passo para isolar
e
.
Primeiro, agrupe ambos os lados de modo a expor um sufixo igual e cancele esse sufixo. Pela associatividade podemos escrever
Aplicando a propriedade de cancelamento (se
então
) ao sufixo
, obtemos
Passo 6
Agora adicionamos o inverso aditivo de
(isto é,
) a ambos os lados. Pela associatividade e pela definição de inverso aditivo:
No membro esquerdo,
, então o lado esquerdo simplifica para
. No membro direito,
quando agrupado apropriadamente, então o lado direito simplifica para
. Logo obtemos