Desenvolva de duas formas o produto (a+b)(1+1), a, b \in \mathbb{Z} para obter a propriedade comutativa da adição.

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver o produto (a+b)(1+1), com a,b\in\mathbb{Z}, de duas maneiras diferentes de modo a obter a propriedade comutativa da adição (isto é, mostrar que a+b=b+a).
Informações dadas: os elementos a e b são inteiros; conheceremos e usaremos propriedades elementares dos inteiros: identidade multiplicativa 1\cdot x = x, a distributividade da multiplicação sobre a adição, a associatividade da adição, a existência de inversos aditivos (para todo x existe -x) e a propriedade de cancelamento na adição (se x+c=y+c então x=y).

Passo 2

Primeira maneira: distribuir em relação ao segundo fator (1+1). Usando distributividade e 1\cdot x=x, temos
(a+b)(1+1)=(a+b)\cdot1+(a+b)\cdot1=(a+b)+(a+b).
Aplicando associatividade da adição para escrever sem parênteses, isso é
(a+b)+(a+b)=a+b+a+b.

Passo 3

Segunda maneira: distribuir em relação ao primeiro fator (a+b). Usando distributividade duas vezes e 1\cdot x=x, temos
(a+b)(1+1)=a(1+1)+b(1+1)=\bigl(a\cdot1+a\cdot1\bigr)+\bigl(b\cdot1+b\cdot1\bigr).
Simplificando a\cdot1=a e b\cdot1=b, obtemos
a+a+b+b.

Passo 4

Comparando as duas expansões do mesmo produto, concluímos
a+a+b+b=a+b+a+b.
Esta igualdade é válida em \mathbb{Z} e usamos apenas propriedades já citadas.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de cancelamento na adição passo a passo para isolar a+b e b+a.
Primeiro, agrupe ambos os lados de modo a expor um sufixo igual e cancele esse sufixo. Pela associatividade podemos escrever
\bigl((a+a)+b\bigr)+b=\bigl((a+b)+a\bigr)+b.
Aplicando a propriedade de cancelamento (se X+b=Y+b então X=Y) ao sufixo +b, obtemos
(a+a)+b=(a+b)+a.

Passo 6

Agora adicionamos o inverso aditivo de a (isto é, -a) a ambos os lados. Pela associatividade e pela definição de inverso aditivo:
(-a)+\bigl((a+a)+b\bigr)=(-a)+\bigl((a+b)+a\bigr).
No membro esquerdo, (-a)+a=0, então o lado esquerdo simplifica para a+b. No membro direito, (-a)+a=0 quando agrupado apropriadamente, então o lado direito simplifica para b+a. Logo obtemos
a+b=b+a.

Resposta

a+b=b+a