desenvolva uma equação que permita calcular a concentração de soluto A que deixa o último tanque como função do tempo. Assuma mistura perfeita.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos desenvolver uma equação que calcule a concentração do soluto que sai do último tanque ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de balanço de massa e equações diferenciais, assumindo que a mistura dentro do tanque é perfeita, ou seja, a concentração é a mesma em todo o tanque a qualquer instante.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que estamos lidando com um único tanque com mistura perfeita. Isso significa que a concentração do soluto dentro do tanque é uniforme. A concentração que sai do tanque é igual à concentração dentro dele.

Passo 3

Vamos fazer o balanço de massa para o soluto dC(t)dt = Cin cdot Qin - C(t) cdot QoutV no tanque. A taxa de entrada menos a taxa de saída de soluto será igual ao acúmulo de soluto no tanque.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde:
  • é a concentração do soluto no tanque no tempo
  • é a concentração de entrada do soluto
  • é a vazão de entrada
  • é a vazão de saída
  • é o volume do tanque
Como estamos assumindo mistura perfeita e vazões constantes ( ), podemos simplificar a equação.

Passo 4

Com a igualdade das vazões de entrada e saída ( dC(t)dt = Cin cdot Q - C(t) cdot QV ), a equação fica:
dC(t)dt = QV (Cin - C(t))
Simplificando:

Passo 5

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
dC(t)dt + QV C(t) = QV Cin
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(t) = e^integral QV dt = e^QV t é dado por:
e^QV t dC(t)dt + e^QV t QV C(t) = e^QV t QV Cin
Multiplicando toda a equação diferencial pelo fator integrante:
ddt ( e^QV t C(t) ) = e^QV t QV Cin
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo e^QV t C(t) = integral e^QV t QV Cin dt + K :
e^QV t C(t) = Cin e^QV t + K
Onde é a constante de integração.
Calculando a integral:

Passo 8

Resolvendo para C(t) = Cin + K e^-QV t :
C(0) = Cin + K e^0 Rightarrow C0 = Cin + K
Para encontrar a constante , consideramos a condição inicial. Supondo que no tempo , a concentração no tanque seja :
Então, .

Passo 9

Substituindo C(t) = Cin + (C0 - Cin) e^-QV t na equação de :

Resposta

A concentração do soluto C(t) = Cin + (C0 - Cin) e^-QV t que sai do último tanque em função do tempo é dada por:

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