Desenvolva expressões para densidade planar para os planos (100) e (111) em estruturas cristalinas CFC em termos do raio atômico.
10. Desenvolva expressões para densidade planar para os planos (100) e (110) em estruturas cristalinas CCC em termos do raio atômico.
10. Desenvolva expressões para densidade planar para os planos (100) e (110) em estruturas cristalinas CCC em termos do raio atômico.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pedem-se expressões para a densidade planar (número de átomos por unidade de área) dos planos indicados, expressas em função do raio atômico
. - As estruturas cristalinas solicitadas são:
- CFC (cúbica de face centrada, FCC) — planos
e . - CCC (cúbica de corpo centrado, BCC) — planos
e .
- CFC (cúbica de face centrada, FCC) — planos
- Não há valores numéricos adicionais; quer‑se as fórmulas analíticas em termos de
.
Passo 2
O que é densidade planar e como vamos contar átomos na prática
- Definição: a densidade planar do plano
é o número de centros atômicos que pertencem a esse plano dividido pela área da célula 2D primitiva desse plano. Em símbolos,
- Regra prática para contar contribuições:
- Um átomo cujo centro está estritamente dentro da célula 2D conta como
. - Um átomo cujo centro está num vértice da célula 2D é compartilhado por 4 células 2D adjacentes no plano → contribuição
. - Um átomo cujo centro está numa aresta da célula 2D (no interior da aresta) é compartilhado por 2 células 2D → contribuição
.
- Um átomo cujo centro está estritamente dentro da célula 2D conta como
- Em estruturas cúbicas usaremos a célula 2D natural do plano (por exemplo, para (100) a célula 2D é um quadrado de lado
; para (110) um retângulo; para (111) uma célula hexagonal/triangular).
Passo 3
Relação entre parâmetro de rede
e raio atômico
para FCC e BCC (essencial para escrever em função de
)
- FCC: em uma face da célula cúbica há quatro semidiagonais que fazem com que a diagonal da face contenha
. A diagonal da face vale . Portanto
- BCC: a diagonal do corpo da célula contém
e vale . Assim
(Essas igualdades são padrão: FCC toca-se nas faces, BCC toca-se ao longo da diagonal do corpo.)
Passo 4
Cálculo para FCC — plano
- Identificar a célula 2D e sua área: para
a célula 2D é um quadrado de lado , área
- Contar os centros atômicos que pertencem ao plano dentro dessa célula 2D:
- Os quatro cantos do quadrado são centros atômicos dos átomos de canto da célula 3D; cada canto contribui
(cada vértice é comum a 4 células 2D no plano) → soma . - Além disso, na estrutura FCC há um átomo no centro da face (o próprio plano (100) passa pelo centro da face), cujo centro está estritamente dentro da célula 2D → contribuição
. - Total de centros atômicos por célula 2D:
.
- Densidade planar em termos de
:
- Substituir
:
Passo 5
Cálculo para FCC — plano
- Geometria do arranjo no plano
: o plano em FCC forma uma rede 2D hexagonal (empacotamento denso no plano). Nessa rede 2D o átomo mais próximo tem distância de vizinhança igual à distância entre vizinhos na rede cúbica, que para FCC é
(porque os vizinhos mais próximos em FCC estão ao longo da diagonal da face).
2) Área por um átomo na rede hexagonal 2D: para empacotamento hexagonal a área do reticulado por átomo (célula 2D primitiva) é
2) Área por um átomo na rede hexagonal 2D: para empacotamento hexagonal a área do reticulado por átomo (célula 2D primitiva) é
Logo a densidade planar (átomos por unidade de área) é o inverso:
- Substituir
:
(Como checagem: é levemente maior que
do plano (100), coerente com (111) ser mais denso.)
4) Substituir :
4) Substituir
Passo 6
Cálculo para BCC — plano
- Célula 2D e área: para
novamente a célula 2D é um quadrado de lado , área . - Contagem de centros atômicos no plano:
- Os quatro cantos do quadrado (átomos de canto) contribuem
. - Na estrutura BCC não há nenhum centro de face (não há átomo no centro da face), e o átomo de corpo (
) não está no plano da face → não contribui. - Total de centros atômicos por célula 2D:
.
- Densidade planar em termos de
:
- Substituir
:
Passo 7
Cálculo para BCC — plano
- Escolha de vetores de tradução no plano e área da célula 2D:
- Dois vetores de rede que pertencem ao plano
e conectam pontos de rede podem ser tomados como
e . - Esses vetores são ortogonais entre si e têm comprimentos
e . Assim a área da célula 2D é
- Contagem de centros atômicos na célula 2D:
- Os quatro cantos do retângulo são átomos de canto da rede cúbica (cada um contribui
à célula 2D) → soma . - Além disso, existem centros atômicos provenientes dos átomos do corpo (body centers) de células vizinhas que têm seus centros localizados sobre essa mesma superfície retangular; o resultado é que, dentro dessa célula 2D retangular, há no total mais
átomo inteiro vindo das posições de átomo de corpo que ficam no plano (essas posições pertencem a células adjacentes e, vistas na célula 2D, somam uma contribuição inteira). (Em outras palavras: somando as frações de átomos de corpo que caem nesse retângulo obtém‑se .) - Portanto o número total de centros atômicos por célula 2D é
(dos cantos) (dos corpos) .
- Densidade planar em termos de
:
(Verificação rápida: multiplicando pela área
recupera 2 átomos, coerente.)
4) Substituir :
4) Substituir