Desenvolva expressões para densidade planar para os planos (100) e (111) em estruturas cristalinas CFC em termos do raio atômico.
10. Desenvolva expressões para densidade planar para os planos (100) e (110) em estruturas cristalinas CCC em termos do raio atômico.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pedem-se expressões para a densidade planar (número de átomos por unidade de área) dos planos indicados, expressas em função do raio atômico r.
  • As estruturas cristalinas solicitadas são:
    • CFC (cúbica de face centrada, FCC) — planos (100) e (111).
    • CCC (cúbica de corpo centrado, BCC) — planos (100) e (110).
  • Não há valores numéricos adicionais; quer‑se as fórmulas analíticas em termos de r.

Passo 2

O que é densidade planar e como vamos contar átomos na prática
  • Definição: a densidade planar do plano (hkl) é o número de centros atômicos que pertencem a esse plano dividido pela área da célula 2D primitiva desse plano. Em símbolos,
\text{densidade planar} = \frac{\text{número de átomos (centros) na célula 2D}}{\text{área da célula 2D}}.úáéáé
  • Regra prática para contar contribuições:
    • Um átomo cujo centro está estritamente dentro da célula 2D conta como 1.
    • Um átomo cujo centro está num vértice da célula 2D é compartilhado por 4 células 2D adjacentes no plano → contribuição 1/4.
    • Um átomo cujo centro está numa aresta da célula 2D (no interior da aresta) é compartilhado por 2 células 2D → contribuição 1/2.
  • Em estruturas cúbicas usaremos a célula 2D natural do plano (por exemplo, para (100) a célula 2D é um quadrado de lado a; para (110) um retângulo; para (111) uma célula hexagonal/triangular).

Passo 3

Relação entre parâmetro de rede a e raio atômico r para FCC e BCC (essencial para escrever em função de r)
  • FCC: em uma face da célula cúbica há quatro semidiagonais que fazem com que a diagonal da face contenha 4r. A diagonal da face vale a\sqrt{2}. Portanto
a\sqrt{2}=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
  • BCC: a diagonal do corpo da célula contém 4r e vale a\sqrt{3}. Assim
a\sqrt{3}=4r \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
(Essas igualdades são padrão: FCC toca-se nas faces, BCC toca-se ao longo da diagonal do corpo.)

Passo 4

Cálculo para FCC — plano (100)
  1. Identificar a célula 2D e sua área: para (100) a célula 2D é um quadrado de lado a, área
\text{área}_{(100)}=a^2.á
  1. Contar os centros atômicos que pertencem ao plano dentro dessa célula 2D:
  • Os quatro cantos do quadrado são centros atômicos dos átomos de canto da célula 3D; cada canto contribui 1/4 (cada vértice é comum a 4 células 2D no plano) → soma 4\times\frac14=1.
  • Além disso, na estrutura FCC há um átomo no centro da face (o próprio plano (100) passa pelo centro da face), cujo centro está estritamente dentro da célula 2D → contribuição 1.
  • Total de centros atômicos por célula 2D: 1+1=2.
  1. Densidade planar em termos de a:
\text{PD}_{\text{FCC}(100)}=\frac{2}{a^2}.
  1. Substituir a=2\sqrt{2}\,r:
\text{PD}_{\text{FCC}(100)}=\frac{2}{(2\sqrt{2}\,r)^2}=\frac{2}{8\,r^2}=\frac{1}{4\,r^2}.

Passo 5

Cálculo para FCC — plano (111)
  1. Geometria do arranjo no plano (111): o plano (111) em FCC forma uma rede 2D hexagonal (empacotamento denso no plano). Nessa rede 2D o átomo mais próximo tem distância de vizinhança igual à distância entre vizinhos na rede cúbica, que para FCC é
d=\frac{a}{\sqrt{2}}
(porque os vizinhos mais próximos em FCC estão ao longo da diagonal da face).
2) Área por um átomo na rede hexagonal 2D: para empacotamento hexagonal a área do reticulado por átomo (célula 2D primitiva) é
A_{\text{atom}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,d^2.
Logo a densidade planar (átomos por unidade de área) é o inverso:
\text{PD}=\frac{1}{A_{\text{atom}}}=\frac{2}{\sqrt{3}\,d^2}.
  1. Substituir d=a/\sqrt{2}:
\text{PD}_{\text{FCC}(111)}=\frac{2}{\sqrt{3}\,\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} =\frac{2}{\sqrt{3}\,\dfrac{a^2}{2}} =\frac{4}{\sqrt{3}\,a^2}.
(Como checagem: é levemente maior que \tfrac{2}{a^2} do plano (100), coerente com (111) ser mais denso.)
4) Substituir a=2\sqrt{2}\,r:
\text{PD}_{\text{FCC}(111)}=\frac{4}{\sqrt{3}\,(2\sqrt{2}\,r)^2} =\frac{4}{\sqrt{3}\,8\,r^2} =\frac{1}{2\sqrt{3}\,r^2}.

Passo 6

Cálculo para BCC — plano (100)
  1. Célula 2D e área: para (100) novamente a célula 2D é um quadrado de lado a, área a^2.
  2. Contagem de centros atômicos no plano:
  • Os quatro cantos do quadrado (átomos de canto) contribuem 4\times\frac14=1.
  • Na estrutura BCC não há nenhum centro de face (não há átomo no centro da face), e o átomo de corpo ( 1/2,1/2,1/2) não está no plano (100) da face → não contribui.
  • Total de centros atômicos por célula 2D: 1.
  1. Densidade planar em termos de a:
\text{PD}_{\text{BCC}(100)}=\frac{1}{a^2}.
  1. Substituir a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}:
\text{PD}_{\text{BCC}(100)}=\frac{1}{\left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^2} =\frac{1}{\dfrac{16\,r^2}{3}} =\frac{3}{16\,r^2}.

Passo 7

Cálculo para BCC — plano (110)
  1. Escolha de vetores de tradução no plano e área da célula 2D:
  • Dois vetores de rede que pertencem ao plano (110) e conectam pontos de rede podem ser tomados como
    \mathbf{u}=a(1,-1,0) e \mathbf{v}=a(0,0,1).
  • Esses vetores são ortogonais entre si e têm comprimentos |\mathbf{u}|=a\sqrt{2} e |\mathbf{v}|=a. Assim a área da célula 2D é
\text{área}_{(110)}=|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=a\sqrt{2}\times a = a^2\sqrt{2}.á
  1. Contagem de centros atômicos na célula 2D:
  • Os quatro cantos do retângulo são átomos de canto da rede cúbica (cada um contribui 1/4 à célula 2D) → soma 1.
  • Além disso, existem centros atômicos provenientes dos átomos do corpo (body centers) de células vizinhas que têm seus centros localizados sobre essa mesma superfície retangular; o resultado é que, dentro dessa célula 2D retangular, há no total mais 1 átomo inteiro vindo das posições de átomo de corpo que ficam no plano (essas posições pertencem a células adjacentes e, vistas na célula 2D, somam uma contribuição inteira). (Em outras palavras: somando as frações de átomos de corpo que caem nesse retângulo obtém‑se 1.)
  • Portanto o número total de centros atômicos por célula 2D é 1 (dos cantos) + 1 (dos corpos) =2.
  1. Densidade planar em termos de a:
\text{PD}_{\text{BCC}(110)}=\frac{2}{a^2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a^2}.
(Verificação rápida: multiplicando pela área a^2\sqrt{2} recupera 2 átomos, coerente.)
4) Substituir a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}:
\text{PD}_{\text{BCC}(110)}=\frac{\sqrt{2}}{\left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^2} =\frac{\sqrt{2}}{\dfrac{16\,r^2}{3}} =\frac{3\sqrt{2}}{16\,r^2}.

Resposta

\text{FCC }(100):\\ \displaystyle \frac{1}{4\,r^2}
\text{FCC }(111):\\ \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}\,r^2}
\text{BCC }(100):\\ \displaystyle \frac{3}{16\,r^2}
\text{BCC }(110):\\ \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{16\,r^2}

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