Desenvolva, manualmente, os três exemplos do livro do NISE (calcule a transformada inversa de Laplace):
\quad F(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)}.
Informações dadas:
F(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)}.
Pergunta: encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) (normalmente para t\ge 0).

Passo 2

Antes de resolver, vamos revisar conceitos importantes que usarei (explicado passo a passo):
\text{Transformada de Laplace: }\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
O objetivo da transformada inversa é achar f(t) dado F(s).
Propriedades úteis:
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s), onde a,b são constantes.
  2. Transformada do decaimento exponencial: \mathcal{L}\{e^{-at}\}(s)=\dfrac{1}{s+a} para \Re(s)>-a. Aqui a é uma constante real; t é a variável de tempo; s é a variável complexa da transformada.
  3. Convolução: se F(s)=G(s)H(s) com G=\mathcal{L}\{g\} e H=\mathcal{L}\{h\}, então \mathcal{L}^{-1}\{F\}=g*h onde
(g*h)(t)=\int_0^t g(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.
  1. Para polos simples, o método das frações parciais (ou fórmula de Heaviside/ resíduos) é prático: escreve-se F(s) como soma de termos da forma \dfrac{C}{s+a}; cada termo corresponde a C e^{-at}.
Agora vamos resolver usando três métodos distintos, todos manuais e didáticos.

Passo 3

Queremos decompor
\frac{2}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos a identidade polinomial
2 = A(s+2)+B(s+1).
Essa igualdade vale para todo s, então podemos determinar A e B escolhendo valores convenientes de s.

Passo 4

Usando substituições simples:
  • Para s=-1:
2 = A((-1)+2)+B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 2 = A\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad A=2.
  • Para s=-2:
2 = A\cdot 0 + B((-2)+1) \quad\Rightarrow\quad 2 = B\cdot (-1) \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Portanto a decomposição é
\frac{2}{(s+1)(s+2)}=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+2}.

Passo 5

Usando a propriedade básica \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} e linearidade, a transformada inversa é
f(t)=2e^{-1\cdot t}-2e^{-2\cdot t}=2e^{-t}-2e^{-2t},\quad t\ge 0.
Vou explicar passo a passo: cada termo \dfrac{2}{s+1} corresponde a 2e^{-t} e cada termo -\dfrac{2}{s+2} corresponde a -2e^{-2t}. Somando obtém-se 2e^{-t}-2e^{-2t}.

Passo 6

Observamos que
F(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)}=2\cdot\frac{1}{s+1}\cdot\frac{1}{s+2}.
Seja g(t)=e^{-t} e h(t)=e^{-2t}. Então \mathcal{L}\{g\}=\dfrac{1}{s+1} e \mathcal{L}\{h\}=\dfrac{1}{s+2}.
Pelo teorema da convolução,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=2\,(g*h)(t)=2\int_0^t g(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.

Passo 7

Calcule a convolução explicitamente:
(g*h)(t)=\int_0^t e^{-\tau}\,e^{-2(t-\tau)}\,d\tau.
Simplificando o integrando:
e^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}=e^{-2t}e^{-\tau}e^{2\tau}=e^{-2t}e^{\tau}=e^{-2t}e^{\tau}.
Logo
(g*h)(t)=e^{-2t}\int_0^t e^{\tau}\,d\tau=e^{-2t}\bigl[e^{\tau}\bigr]_0^t=e^{-2t}(e^{t}-1).
Multiplicando por 2,
f(t)=2(g*h)(t)=2e^{-2t}(e^{t}-1)=2(e^{-t}-e^{-2t})=2e^{-t}-2e^{-2t}.
Resultado igual ao do Método 1.

Passo 8

Quando F(s) tem polos simples (aqui em s=-1 e s=-2), uma forma rápida é usar a “regra do cover-up” (ou calcular resíduos):
Para um polo simples em s=-a, o termo correspondente é \operatorname{Res}\bigl(F,s=-a\bigr)\cdot \dfrac{1}{s+a}, e a transformada inversa dá esse resíduo multiplicando e^{-at}.
Calculamos os resíduos:
\text{Res}_{s=-1}F(s)=\lim_{s\to -1}(s+1)\frac{2}{(s+1)(s+2)}=\frac{2}{(-1)+2}=2.
\text{Res}_{s=-2}F(s)=\lim_{s\to -2}(s+2)\frac{2}{(s+1)(s+2)}=\frac{2}{(-2)+1}=\frac{2}{-1}=-2.
Portanto
F(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+2}
e a inversa é
f(t)=2e^{-t}-2e^{-2t},
novamente o mesmo resultado.

Passo 9

Podemos checar calculando a transformada direta de f(t)=2e^{-t}-2e^{-2t}:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{2}{s+2}=\frac{2(s+2)-2(s+1)}{(s+1)(s+2)}=\frac{2}{(s+1)(s+2)}=F(s),
confirmando que a inversa encontrada está correta.

Resposta

2e^{-t}-2e^{-2t}

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