Desenvolva, manualmente, os três exemplos do livro do NISE (calcule a transformada inversa de Laplace):
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas:
Pergunta: encontrar
tal que
(normalmente para
).
Passo 2
Antes de resolver, vamos revisar conceitos importantes que usarei (explicado passo a passo):
O objetivo da transformada inversa é achar
dado
.
Propriedades úteis:
Propriedades úteis:
- Linearidade:
, onde são constantes. - Transformada do decaimento exponencial:
para . Aqui é uma constante real; é a variável de tempo; é a variável complexa da transformada. - Convolução: se
com e , então onde
- Para polos simples, o método das frações parciais (ou fórmula de Heaviside/ resíduos) é prático: escreve-se
como soma de termos da forma ; cada termo corresponde a .
Agora vamos resolver usando três métodos distintos, todos manuais e didáticos.
Passo 3
Queremos decompor
onde
e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por obtemos a identidade polinomial
Multiplicando ambos os lados por
Essa igualdade vale para todo
, então podemos determinar
e
escolhendo valores convenientes de
.
Passo 4
Usando substituições simples:
- Para
:
- Para
:
Portanto a decomposição é
Passo 5
Usando a propriedade básica
e linearidade, a transformada inversa é
Vou explicar passo a passo: cada termo
corresponde a
e cada termo
corresponde a
. Somando obtém-se
.
Passo 6
Observamos que
Seja
e
. Então
e
.
Pelo teorema da convolução,
Pelo teorema da convolução,
Passo 7
Calcule a convolução explicitamente:
Simplificando o integrando:
Logo
Multiplicando por
,
Resultado igual ao do Método 1.
Passo 8
Quando
tem polos simples (aqui em
e
), uma forma rápida é usar a “regra do cover-up” (ou calcular resíduos):
Para um polo simples em , o termo correspondente é
, e a transformada inversa dá esse resíduo multiplicando
.
Calculamos os resíduos:
Para um polo simples em
Calculamos os resíduos:
Portanto
e a inversa é
novamente o mesmo resultado.
Passo 9
Podemos checar calculando a transformada direta de
:
confirmando que a inversa encontrada está correta.