Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
(b) (2 x-3 y)^{2}=4 x^{2}-12 x y+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o produto notável \,(2x-3y)^{2}\,.
Informação dada:
  • A expressão a expandir é \,(2x-3y)^{2}.

Passo 2

Regra que vamos usar: a fórmula do quadrado da diferença de dois termos. Vou mostrar por que ela vale, multiplicando o binómio por si mesmo:
(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicando cada passo: ao multiplicar (a-b)(a-b) aplica-se a distributiva (cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo), o que gera quatro termos; os dois termos mistos -ab somam-se para dar -2ab.

Passo 3

Agora identificamos os termos correspondentes na nossa expressão: seja a=2x e b=3y. Então aplicamos a fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

Passo 4

Calculemos o primeiro termo a^{2}:
a^{2}=(2x)^{2}=(2x)\cdot(2x)=2\cdot2\cdot x\cdot x=4x^{2}.
Aqui usei que (\alpha\beta)^{2}=\alpha^{2}\beta^{2} e que 2\cdot2=4.

Passo 5

Calculemos o termo do meio -2ab:
-2ab=-2\cdot(2x)\cdot(3y)=-2\cdot2\cdot3\cdot x\cdot y=-12\,xy.
Detalhe: o sinal negativo vem da fórmula; a multiplicação numérica é 2\cdot2\cdot3=12.

Passo 6

Calculemos o último termo b^{2}:
b^{2}=(3y)^{2}=(3y)\cdot(3y)=3\cdot3\cdot y\cdot y=9y^{2}.

Passo 7

Juntando os três termos obtidos:
(2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}.

Passo 8

Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): escolha x=1 e y=1.
\text{Lado esquerdo: }(2\cdot1-3\cdot1)^{2}=(-1)^{2}=1.
\text{Lado direito: }4\cdot1^{2}-12\cdot1\cdot1+9\cdot1^{2}=4-12+9=1.
Os dois lados coincidem, então a expansão está consistente.

Resposta

4x^{2}-12xy+9y^{2}