Desenvolver em série de Fourier Trigonométrica no intervalo 
  :
A função 
 
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenvolver a série de Fourier trigonométrica da função 
  no intervalo 
 . Isso envolve conceitos de análise de séries de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para uma função par, já que a função 
  é par.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Fourier trigonométrica para uma função 
  no intervalo 
 . A série é dada por:
Como nossa função 
  é par (
 ), todos os coeficientes 
  serão zero. Portanto, a série simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo 
 , que representa a média da função no intervalo 
 . A fórmula para 
  é:
Substituindo 
 :
Sabemos que 
  é uma função par, então podemos simplificar a integral:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Portanto:
Como 
 :
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes 
 . A fórmula para 
  é:
Substituindo 
 :
Novamente, como 
  e 
  são funções pares, podemos simplificar a integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração para o produto de funções cosseno e cosseno hiperbólico:
Aplicando os limites de integração de 0 a π:
Simplificando sabendo que 
 , 
 , 
 , 
 , e 
 :
Resposta
Portanto, a série de Fourier trigonométrica da função 
  no intervalo 
  é: