Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que desenvolver a série de Taylor e Maclaurin da função
. Isso cai dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente as séries de Taylor e Maclaurin. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer a expansão em série da função seno e fazer algumas manipulações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função seno. A série de Taylor da função
em torno de 0 (que também é a série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que podemos expandir o seno de qualquer expressão
usando essa fórmula.
Passo 3
No nosso caso, o
dentro do seno é
. Então, vamos substituir
por
na série que acabamos de recordar:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o termo
. Lembrando que
, temos:
Então, a série fica:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar
. Então, vamos dividir toda a série que obtivemos por
:
Passo 6
Podemos reescrever a série de uma forma um pouco mais organizada:
Isso significa que cada termo da série depende de
, e somando todos esses termos, a gente obtém a série de Taylor e Maclaurin para a função
.
Resposta
A série de Taylor e Maclaurin para a função
é: