Desenvolver em série de Taylor e Maclaurin as funções:
(f) f(x) = sen(x^5) / x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que desenvolver a série de Taylor e Maclaurin da função . Isso cai dentro do conteúdo de séries de potências, especificamente as séries de Taylor e Maclaurin. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer a expansão em série da função seno e fazer algumas manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função seno. A série de Taylor da função em torno de 0 (que também é a série de Maclaurin) é dada por:
Isso significa que podemos expandir o seno de qualquer expressão usando essa fórmula.

Passo 3

No nosso caso, o dentro do seno é . Então, vamos substituir por na série que acabamos de recordar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o termo . Lembrando que , temos:
Então, a série fica:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar . Então, vamos dividir toda a série que obtivemos por :

Passo 6

Podemos reescrever a série de uma forma um pouco mais organizada:
Isso significa que cada termo da série depende de , e somando todos esses termos, a gente obtém a série de Taylor e Maclaurin para a função .

Resposta

A série de Taylor e Maclaurin para a função é:

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