Duas barras encontram-se inicialmente a mesma temperatura
. Uma delas tem comprimento
e coeficiente de dilatação linear
, a outra tem comprimento
e seu coeficiente de dilatação linear é
. Deseja-se que, ao aquecer as duas barras até uma temperatura
, a diferença entre seus comprimentos permaneça sempre igual a
, qualquer que seja o valor de
. Qual deve ser o valor da relação entre os coeficientes
e
para que isso aconteça?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas barras que começam na mesma temperatura $ t_0 $. A primeira barra tem comprimento inicial de $ l_{01} = 8,0 $ cm e coeficiente de dilatação linear $ \alpha_1 $. A segunda barra mede $ l_{02} = 10,0 $ cm e tem coeficiente de dilatação linear $ \alpha_2 $. Queremos descobrir qual a relação entre $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $ para que, ao aquecer ambas até uma temperatura $ t $, a diferença entre seus comprimentos continue sempre sendo $ 2,0 $ cm, independente de $ t $. Vamos usar os conceitos de dilatação térmica linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
Aqui, $ l $ é o comprimento final, $ l_0 $ é o comprimento inicial, $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear, e $ \Delta t = t - t_0 $ é a variação de temperatura.
Passo 3
Aplicando a fórmula para as duas barras, temos:
- Comprimento da primeira barra após o aquecimento:
- Comprimento da segunda barra após o aquecimento:
Passo 4
Queremos que a diferença entre os comprimentos seja sempre $ 2,0 $ cm:
Substituindo as fórmulas dos comprimentos:
Passo 5
Vamos expandir essa equação:
Agrupando os termos:
Passo 6
Sabemos que $ l_{02} - l_{01} = 10,0 cm - 8,0 cm = 2,0 cm $. Substituindo na equação:
Passo 7
Para que essa equação seja verdadeira para qualquer $ \Delta t $, o coeficiente de $ \Delta t $ precisa ser zero. Ou seja:
Passo 8
Resolvendo para $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $:
Dividindo ambos os lados por $ 10,0 \times \alpha_2 $:
Resposta
A relação entre os coeficientes é $ \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{5}{4} $.