Duas barras encontram-se inicialmente a mesma temperatura t0. Uma delas tem comprimento l01=8,0 cm e coeficiente de dilatação linear alpha1, a outra tem comprimento l02=10,0 cm e seu coeficiente de dilatação linear é alpha2. Deseja-se que, ao aquecer as duas barras até uma temperatura t, a diferença entre seus comprimentos permaneça sempre igual a 2,0 cm, qualquer que seja o valor de t. Qual deve ser o valor da relação entre os coeficientes alpha1 e alpha2 para que isso aconteça?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas barras que começam na mesma temperatura $ t_0 $. A primeira barra tem comprimento inicial de $ l_{01} = 8,0 $ cm e coeficiente de dilatação linear $ \alpha_1 $. A segunda barra mede $ l_{02} = 10,0 $ cm e tem coeficiente de dilatação linear $ \alpha_2 $. Queremos descobrir qual a relação entre $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $ para que, ao aquecer ambas até uma temperatura $ t $, a diferença entre seus comprimentos continue sempre sendo $ 2,0 $ cm, independente de $ t $. Vamos usar os conceitos de dilatação térmica linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
l = l0 times (1 + alpha times De
Aqui, $ l $ é o comprimento final, $ l_0 $ é o comprimento inicial, $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear, e $ \Delta t = t - t_0 $ é a variação de temperatura.

Passo 3

Aplicando a fórmula para as duas barras, temos:
  • Comprimento da primeira barra após o aquecimento:
l1 = l01 times (1 + alpha1 times De
  • Comprimento da segunda barra após o aquecimento:
l2 = l02 times (1 + alpha2 times De

Passo 4

Queremos que a diferença entre os comprimentos seja sempre $ 2,0 $ cm:
2,0
Substituindo as fórmulas dos comprimentos:
l2 - l1 = 2,0 cm

Passo 5

Vamos expandir essa equação:
l02 + l02 times alpha2 times De
Agrupando os termos:
(l02 - l01) + (l02 times alpha2 - l01 times alpha1) times De

Passo 6

Sabemos que $ l_{02} - l_{01} = 10,0 cm - 8,0 cm = 2,0 cm $. Substituindo na equação:
l02 - l01 = 10,0 cm - 8,0 cm = 2,0 cm

Passo 7

Para que essa equação seja verdadeira para qualquer $ \Delta t $, o coeficiente de $ \Delta t $ precisa ser zero. Ou seja:
De

Passo 8

Resolvendo para $ \alpha_1 $ e $ \alpha_2 $:
alpha1
Dividindo ambos os lados por $ 10,0 \times \alpha_2 $:
alpha2

Resposta

A relação entre os coeficientes é $ \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{5}{4} $.

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