O deslocamento de um pistão, quando colocado num gráfico Pressão-Volume, é dado por: p(V)=10 e^-V sin (V). Calcule o trabalho total realizado no intervalo [0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o deslocamento de um pistão num gráfico de Pressão-Volume, onde a pressão é dada por $ p(V) = 10 e^{-V} \sin(V) $. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho total realizado nesse intervalo de volume de $ V = 0 $ até $ V = \pi $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho em termodinâmica, que envolve calcular a área sob a curva de pressão versus volume. Vai ser uma integração, então vamos mexer um pouco com cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por um pistão quando a pressão varia com o volume é dado pela integral de $ p(V) $ em relação a $ V $. Ou seja:
W
No nosso caso, $ V_1 = 0 $ e $ V_2 = \pi $, e a pressão $ p(V) = 10 e^{-V} \sin(V) $. Então, a expressão para o trabalho fica:
p(V)

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos simplificar a expressão:
W = 10 integral0^pi e^-V sin(V) , dV
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar de uma fórmula padrão para integrais do tipo $ e^{ax} \sin(bx) $. A fórmula é:
e^ax sin(bx)
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 1 $.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa integral:
integral e^-V sin(V) , dV = e^-V(-1)^2 + 1^2 [(-1) sin(V) - 1 cos(V)] + C
Simplificando os termos:
integral e^-V sin(V) , dV = e^-V2 [-sin(V) - cos(V)] + C

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo de volta na expressão do trabalho:
W = 10 times [ e^-V2 (-sin(V) - cos(V)) ]0^pi
Isso resulta em:
W = 5 [ -e^-V (sin(V) + cos(V)) ]0^pi

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da expressão nos limites de integração.
Primeiro, para $ V = \pi $:
V = pi
Depois, para $ V = 0 $:
- e^-pi (sin(pi) + cos(pi)) = - e^-pi (0 -1) = e^-pi

Passo 7

Subtraindo os valores:
e^-pi - (-1) = e^-pi + 1
Então, o trabalho total é:
W = 5 (e^-pi + 1)

Resposta

O trabalho total realizado no intervalo [0, pi] é:
W = 5 (1 + e^-pi) , unidades de trabalho

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