O deslocamento de um pistão, quando colocado num gráfico Pressão-Volume, é dado por:
. Calcule o trabalho total realizado no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o deslocamento de um pistão num gráfico de Pressão-Volume, onde a pressão é dada por $ p(V) = 10 e^{-V} \sin(V) $. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho total realizado nesse intervalo de volume de $ V = 0 $ até $ V = \pi $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de trabalho em termodinâmica, que envolve calcular a área sob a curva de pressão versus volume. Vai ser uma integração, então vamos mexer um pouco com cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por um pistão quando a pressão varia com o volume é dado pela integral de $ p(V) $ em relação a $ V $. Ou seja:
No nosso caso, $ V_1 = 0 $ e $ V_2 = \pi $, e a pressão $ p(V) = 10 e^{-V} \sin(V) $. Então, a expressão para o trabalho fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos simplificar a expressão:
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar de uma fórmula padrão para integrais do tipo $ e^{ax} \sin(bx) $. A fórmula é:
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 1 $.
Passo 4
Aplicando a fórmula à nossa integral:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo de volta na expressão do trabalho:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da expressão nos limites de integração.
Primeiro, para $ V = \pi $:
Depois, para $ V = 0 $:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Então, o trabalho total é:
Resposta
O trabalho total realizado no intervalo
é: