No deslocamento para a universidade, um aluno primeiro pega um ônibus próximo à sua casa e, depois, pega outro de ônibus. O tempo total de espera (em minutos) nas duas paradas tem a seguinte f.d.p.
Obtenha a função de distribuição acumulada de X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo total que um aluno espera pelos ônibus nas duas paradas, representado pela variável $ X $. A gente tem a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dessa espera, e a tarefa é encontrar a função de distribuição acumulada (F.D.A.) de $ X $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a F.D.A. a partir da f.d.p., que basicamente envolve integrar a f.d.p. até um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (F.D.A.). A F.D.A. $ F(x) $ é a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um valor $ x $. Matematicamente, isso é representado por:
F(x)
No nosso caso, a f.d.p. $ f(x) $ é definida por partes, então vamos precisar integrar cada parte separadamente dependendo do valor de $ x $.
Passo 3
Vamos analisar as diferentes faixas de $ x $ com base na f.d.p. dada:
Para $ x < 0 $:
Aqui, a f.d.p. é zero. Logo, a F.D.A. também será zero, porque a probabilidade de $ X $ ser menor que zero é nula.
Para $ 0 \leq x < 5 $:
Nessa faixa, a f.d.p. é $ f(x) = \frac{1}{25}x $. Para encontrar a F.D.A., integramos essa função de 0 até $ x $:
x
Para $ 5 \leq x \leq 10 $:
Aqui, a f.d.p. é $ f(x) = \frac{2}{5} - \frac{1}{25}x $. Para a F.D.A., precisamos considerar a área acumulada até $ x = 5 $ e então integrar de 5 até $ x $:
Primeiro, calculamos $ F(5) $:
x < 0
Agora, integramos de 5 até $ x $:
X
Calculando a integral:
0 <= x < 5
Para $ x > 10 $:
A f.d.p. é zero, e toda a probabilidade acumulada já foi somada até $ x = 10 $. Então, $ F(x) = 1 $.
Passo 4
Juntando tudo, a função de distribuição acumulada $ F(x) $ fica assim: