Detemine a falília de primitivas de cada função. Verifique o resultado efetuando a diferenciação.
\int\left(3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a família de primitivas (antiderivadas) da função dada e verificar o resultado diferenciando a primitiva encontrada. A função que temos dentro da integral é
3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Integrando } \;3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}}\; \text{ em relação a } x.çã
Não há restrições explícitas sobre o domínio, mas devemos lembrar que termos com 1/x^k exigem x\neq 0.

Passo 2

Estratégia (sem mistério): usar a linearidade da integral (integrar termo a termo) e a regra da potência para antiderivadas. Vou explicar essas ferramentas com calma.
Regra da linearidade da integral: se a e b são constantes e f e g são funções, então
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Regra da potência para antiderivadas: para um expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explico as partes: x^{n} é a função que elevamos x à potência n; ao integrar, somamos 1 ao expoente ( n+1) e dividimos pelo novo expoente ( n+1). Não vale para n=-1 pois aí a integral é \ln|x|.
Agora aplicamos isso termo a termo à nossa integranda. Reescrevo cada termo como potência:
3 = 3\cdot x^{0},\quad -\frac{1}{x^{4}} = -x^{-4},\quad \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Integramos cada termo:
  1. Para \;3 = 3x^{0}\;, usando \int x^{0}dx = x,
\int 3\,dx = 3\int x^{0}\,dx = 3x.
  1. Para \;-x^{-4}\;, aplicamos a regra da potência com n=-4. Temos n+1=-3, então
\int -x^{-4}\,dx = -\frac{x^{-3}}{-3}.
Calcule a divisão de sinais e coeficientes: -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}. Portanto
\int -x^{-4}\,dx = \frac{1}{3}x^{-3}.
  1. Para x^{-2}, com n=-2 temos n+1=-1, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Somando as três primitivas e adicionando a constante geral C, obtemos a família de primitivas:
F(x)=3x+\frac{1}{3}x^{-3}-x^{-1}+C.
Se quiser, podemos escrever em termos de frações com x no denominador:
F(x)=3x+\frac{1}{3x^{3}}-\frac{1}{x}+C.

Passo 3

Verificação diferenciando F(x). Vou usar a regra da potência para derivadas: para qualquer m,
\frac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}.
Derivo termo a termo (regra da linearidade da derivada):
  1. \dfrac{d}{dx}(3x)=3.
  2. \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}x^{-3}\right)=\frac{1}{3}\cdot(-3)x^{-4}. Calcule o coeficiente: \frac{1}{3}\cdot(-3)=-1. Logo esse termo dá -x^{-4}.
  3. \dfrac{d}{dx}(-x^{-1}) = -\big(-1\big)x^{-2} = x^{-2}.
Somando os resultados:
\frac{d}{dx}F(x)=3 + \big(-x^{-4}\big) + x^{-2} = 3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}}.
Isso coincide exatamente com a integranda original, o que confirma que F(x) é uma primitiva correta.

Resposta

3x+\frac{1}{3}x^{-3}-x^{-1}+C