Detemine a falília de primitivas de cada função. Verifique o resultado efetuando a diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar a família de primitivas (antiderivadas) da função dada e verificar o resultado diferenciando a primitiva encontrada. A função que temos dentro da integral é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não há restrições explícitas sobre o domínio, mas devemos lembrar que termos com
exigem
.
Passo 2
Estratégia (sem mistério): usar a linearidade da integral (integrar termo a termo) e a regra da potência para antiderivadas. Vou explicar essas ferramentas com calma.
Regra da linearidade da integral: se
e
são constantes e
e
são funções, então
Regra da potência para antiderivadas: para um expoente
,
onde
é a constante de integração. Explico as partes:
é a função que elevamos
à potência
; ao integrar, somamos 1 ao expoente (
) e dividimos pelo novo expoente (
). Não vale para
pois aí a integral é
.
Agora aplicamos isso termo a termo à nossa integranda. Reescrevo cada termo como potência:
Integramos cada termo:
- Para
, usando ,
- Para
, aplicamos a regra da potência com . Temos , então
Calcule a divisão de sinais e coeficientes:
. Portanto
- Para
, com temos , então
Somando as três primitivas e adicionando a constante geral
, obtemos a família de primitivas:
Se quiser, podemos escrever em termos de frações com
no denominador:
Passo 3
Verificação diferenciando
. Vou usar a regra da potência para derivadas: para qualquer
,
Derivo termo a termo (regra da linearidade da derivada):
-
-
Calcule o coeficiente: . Logo esse termo dá . -
Somando os resultados:
Isso coincide exatamente com a integranda original, o que confirma que
é uma primitiva correta.