Determina a altura útil (d), a altura total (h) e a área de aço (As) de uma viga de concreto armado, considerando que a peça encontra-se dimensionada no limite entre os domínios 2 e 3 . \left(\beta_{x}=\beta_{x 23}\right). Considere concreto C30, aço CA50, \mathrm{b}=30 \mathrm{~cm}, \mathrm{Mk}=220 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, classe de agressividade ambiental II.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem ainda resolver nada).
  • Pedido: determinar a altura útil \,d, a altura total \,h e a área de aço \,A_s de uma viga de concreto armado estando o projeto no limite entre os domínios 2 e 3 (ou seja \beta_x=\beta_{x23}).
  • Dados fornecidos:
    • Concreto: \,C30 (logo \,f_{ck}=30\\ \text{MPa}).
    • Aço: \,\text{CA}50 (ou seja \,f_{yk}=500\\ \text{MPa}).
    • Largura da viga: \,b=30\\ \text{cm}.
    • Momento solicitante: \,M_k=220\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
    • Classe de agressividade: II (vai influenciar o cobrimento).
  • O enunciado diz explicitamente que estamos exatamente no limite entre domínios 2 e 3 ( \beta_x=\beta_{x23}). Isso significa que a armadura de tração está no limite de escoamento quando a fibra extrema do concreto atinge a deformação de ruptura característica; usaremos essa condição para relacionar a posição da linha neutra com a deformação do vergalhão.

Passo 2

Vou estabelecer as hipóteses, as constantes de cálculo e as fórmulas que vou usar (explicando a física/ideia por trás).
  • Conversões e hipóteses usuais (NBR/uso prático):
    • Converter b para \text{mm}: \,b=30\\ \text{cm}=300\\ \text{mm}.
    • Momento em \text{N}\cdot\text{mm}: \,M_k=220\\ \text{kN}\cdot\text{m}=220\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Resistências de projeto:
    • Para o concreto: \,f_{ck}=30\\ \text{MPa}. Tomarei o valor de cálculo \,f_{cd}=\dfrac{f_{ck}}{\gamma_c} com \gamma_c=1{,}4 (valor usual de segurança do concreto). Então f_{cd}=\dfrac{30}{1{,}4}=21{,}428571\\ \text{N}/\text{mm}^2.Explicação curta: \,f_{cd} é a resistência que utilizamos no cálculo (reduzida por coeficiente parcial).
    • Para o aço: \,f_{yk}=500\\ \text{MPa}. Tomo \gamma_s=1{,}15 (coef. parcial usual), então f_{yd}=\dfrac{500}{1{,}15}=434{,}782609\\ \text{N}/\text{mm}^2.Explicação: \,f_{yd} é a resistência de cálculo do aço.
  • Módulo de elasticidade do aço: tomo \,E_s=200{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2 (valor padrão).
  • Deformação última do concreto comprimido: tomo \,\varepsilon_{cu}=0{,}0035 (valor usual para concreto armado).
  • Deformação de escoamento do aço (de cálculo): \varepsilon_{yd}=\dfrac{f_{yd}}{E_s}.Interpretação: na distribuição linear de deformações, a razão entre a deformação na armadura e a deformação máxima do concreto dá a posição relativa da linha neutra.
  • Condição domínio 2–3: quando a armadura de tração está exatamente na situação de escoamento durante a ruptura, a profundidade da linha neutra relativa \dfrac{x}{d}=\beta_{x23} satisfaz \beta_{x23}=\dfrac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu}+\varepsilon_{yd}}.Explicação: vem da similaridade de triângulos na distribuição linear de deformações (regra de três entre \varepsilon_{cu}, \varepsilon_{yd}, x e d).

Passo 3

Calcular \varepsilon_{yd} e \beta_{x23} numericamente passo a passo.
  • Primeiro \varepsilon_{yd}: \varepsilon_{yd}=\dfrac{f_{yd}}{E_s}=\dfrac{434{,}782609}{200{,}000}=0{,}002173913.Interpretação: essa é a deformação do aço correspondente à tensão de cálculo \,f_{yd}.
  • Depois \beta_{x23}: \beta_{x23}=\dfrac{0{,}0035}{0{,}0035+0{,}002173913}=\dfrac{0{,}0035}{0{,}005673913}=0{,}616438356\ldotsVou arredondar para três casas após a vírgula quando necessário: \beta_{x23}\approx0{,}616.
    Interpretação intuitiva: a linha neutra fica a cerca de 61,6\% da altura útil d medido a partir da face comprimida.

Passo 4

Montar a equação de equilíbrio de momentos utilizando o bloco retangular equivalente do concreto (explicando a forma usada).
  • Modelo de aço e concreto no equilíbrio último (forma clássica para seção retangular):
    • Força de compressão no concreto (bloco retangular simplificado): \,C=0{,}85\,f_{cd}\,b\,x.
      Explicação: usa-se um bloco de tensão retangular de intensidade \,0{,}85\,f_{cd} e profundidade \,x; o fator 0{,}85 é a redução do diagrama real do concreto para um bloco equivalente.
    • Força de tração na armadura no limite domínio 2–3: como a armadura está no escoamento, \,T=A_s\,f_{yd}.
    • Equilíbrio de forças: \,C=T.
    • Momento resistente (em relação à face comprimida): o momento resistente plástico dado pelo bloco é M_{Rd}=C\cdot z = 0{,}85\,f_{cd}\,b\,x\,(d-0{,}4x),onde z é o braço interno (a resultante do bloco atua em 0{,}4x da face superior).
  • Como estamos no limite entre domínios, podemos igualar o momento solicitado \,M_k ao momento resistente M_{Rd}: M_k=0{,}85\,f_{cd}\,b\,x\,(d-0{,}4x).
  • Substituindo x=\beta_{x23}\,d temos: M_k=0{,}85\,f_{cd}\,b\,\beta_{x23}\,d\left(d-0{,}4\beta_{x23}\,d\right) =\bigl[0{,}85\,f_{cd}\,b\,\beta_{x23}\,(1-0{,}4\beta_{x23})\bigr]\,d^{2}.Assim isolamos d: d=\sqrt{\dfrac{M_k}{0{,}85\,f_{cd}\,b\,\beta_{x23}\,(1-0{,}4\beta_{x23})}}.Observação: essa expressão é muito prática: para o caso limite (domínios 2–3) o momento pedido define diretamente d com os parâmetros materiais e geométricos.

Passo 5

Calcular numericamente \,d usando a expressão obtida (detalhando cada substituição).
  • Primeiro calculemos o coeficiente do denominador: 0{,}85\,f_{cd}\,b=0{,}85\cdot21{,}428571\cdot300=5464{,}285714\\ \text{N}/\text{mm}.
  • Calcular \beta_{x23}(1-0{,}4\beta_{x23}): \beta_{x23}\,(1-0{,}4\beta_{x23})=0{,}616438356\cdot\bigl(1-0{,}4\cdot0{,}616438356\bigr)=0{,}464516129.
  • Produto completo do denominador: 0{,}85\,f_{cd}\,b\,\beta_{x23}\,(1-0{,}4\beta_{x23})=5464{,}285714\cdot0{,}464516129=2538{,}709677\\ \text{N}/\text{mm}.
  • Agora substituir o momento (em \text{N}\cdot\text{mm}): d=\sqrt{\dfrac{220\times10^{6}}{2538{,}709677}}=\sqrt{86\,669{,}565217}\approx294{,}41\\ \text{mm}.
  • Arredondamento prático: \,d\approx294\\ \text{mm} (ou 295\\ \text{mm} se preferir arredondar para cima para facilitar execução). Vou adotar \,d=294\\ \text{mm} como valor calculado e, depois, checar o espaço para cobrimento.

Passo 6

Calcular \,x (profundidade da linha neutra), a força de compressão C e a área de aço A_s exigida.
  • Profundidade da linha neutra: x=\beta_{x23}\,d=0{,}616438356\cdot294{,}41\approx181{,}60\\ \text{mm}.
  • Força de compressão no bloco: C=0{,}85\,f_{cd}\,b\,x=5464{,}285714\cdot181{,}60\approx993\,379{,}31\\ \text{N}.Interpretação: essa é a força que o bloco de concreto exerce; em equilíbrio ela será igual à força de tração na armadura.
  • Como no limite a armadura está no escoamento, T=A_s\,f_{yd}=C. Assim: A_s=\dfrac{C}{f_{yd}}=\dfrac{993\,379{,}31}{434{,}782609}\approx2\,285{,}28\\ \text{mm}^2.
  • Arredondamento prático: \,A_s\approx2\,285\\ \text{mm}^2. Esse é o valor mínimo de área longitudinal de tração para resistir ao momento no estado limite último nas condições do problema.

Passo 7

Determinar a altura total \,h (explicando escolha do cobrimento e diâmetro de vergalhão para cálculo do vão de cobrimento).
  • O enunciado informa classe de agressividade II → isso determina um cobrimento mínimo (segundo a prática usual/NBR 6118). Uma escolha típica e conservadora é: c_{nom}=25\\ \text{mm}para barras longitudinais em vigas em classe de agressividade II. Explicação: classe II exige cobrimento maior que classe I; 25 mm é um valor comum prático para vigas.
  • Para dimensionar \,h precisamos somar o cobrimento e o raio da barra (metade do diâmetro da barra). Como o problema não forneceu o diâmetro dos vergalhões, tomo uma suposição prática comum: barras longitudinais de execução típicas \varphi=16\\ \text{mm}. Assim o recobrimento até o centro da barra é c_{nom}+\varphi/2.
  • Portanto: h=d+c_{nom}+\dfrac{\varphi}{2}=294{,}41+25+\dfrac{16}{2}=294{,}41+25+8=327{,}41\\ \text{mm}.
  • Arredondamento de obra: adota-se uma altura de projeto comercial e prática. Recomendo arredondar para cima a um valor comercial prático: h\approx330\\ \text{mm}.Observação: se optar por barras de maior diâmetro (por exemplo \varphi=20 ou \varphi=25), o h teria que aumentar um pouco; também é aceitável adotar h=325\\ \text{mm} ou 330\\ \text{mm} conforme a padronização na obra.

Passo 8

Observações práticas finais e verificação rápida (como eu faria na prova/instrumento de verificação).
  • Verificação do braço interno z=d-0{,}4x: z=294{,}41-0{,}4\cdot181{,}60=294{,}41-72{,}64=221{,}77\\ \text{mm}.Calcular momento resistente com os valores finais para conferir: M_{Rd}=0{,}85\cdot21{,}428571\cdot300\cdot181{,}60\cdot221{,}77\approx220\times10^{6}\\ \text{N}\cdot\text{mm},que corresponde ao \,M_k (dentro de pequenos arredondamentos), confirmando a consistência do cálculo.
  • Sobre a armadura prática: \,A_s\approx2\,285\\ \text{mm}^2. Exemplos de arranjos práticos (apenas referência):
    • 4 barras \varphi=25\\ \text{mm}\Rightarrow A=4\cdot(\pi\cdot25^2/4)=4\cdot490{,}9\approx1\,964\\ \text{mm}^2 (ainda insuficiente);
    • 5 barras \varphi=25\\ \text{mm}\Rightarrow A\approx2\,454\\ \text{mm}^2 (suficiente);
    • 8 barras \varphi=16\\ \text{mm}\Rightarrow A=8\cdot201{,}06\approx1\,608\\ \text{mm}^2 (insuficiente);
    • 12 barras \varphi=16\\ \text{mm}\Rightarrow A\approx2\,412\\ \text{mm}^2 (suficiente).
      Esses arranjos servem só para mostrar como transformar a A_s calculada em vergalhões padronizados — a escolha final depende de detalhes construtivos e verificação de cobrimento/espalhamento.

Resposta

d\approx294\\ \text{mm}
h\approx330\\ \text{mm}
A_s\approx2\,285\\ \text{mm}^2

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