Considere uma viga de concreto armado com \mathrm{b}=20 \mathrm{~cm} e \mathrm{h}=40 \mathrm{~cm}. O elemento é solicitado por momento fletor \mathrm{Mk}=50.2 \mathrm{kN} . \mathrm{m}. Considerando concreto C25, CA50 e que a viga encontrase em local com classe de agressividade ambiental II. Determine qual o domínio da peça e a área de aço necessária.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar claramente o que é pedido e o que temos):
  • Dimensões da viga: \,b=20\\ \text{cm} e \,h=40\\ \text{cm}.
  • Momento solicitante: \,M_k=50{,}2\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Materiais: concreto C25 e aço CA-50.
  • Classe de agressividade ambiental: II.
O enunciado pede:
  • Determinar o domínio da peça (ou seja, qual é o domínio de deformações — se o aço entra em escoamento antes do esmagamento do betão ou não).
  • Determinar a área de aço necessária \,A_s.
Observação importante (assunção necessária):
  • O enunciado não informou a proteção geométrica (cobrimento) nem o diâmetro das armaduras usadas para definir a profundidade útil \,d. Para proceder preciso adotar um valor típico de projeto compatível com “classe de agressividade II”. Vou adotar explicitamente:
    • cobrimento geométrico \,c=30\\ \text{mm} (valor típico para classe II),
    • diâmetro de armadura considerável para o cálculo do centro das barras \,\varphi=16\\ \text{mm}.
  • Com isso a profundidade útil será calculada como \,d=h-c-\varphi/2.
Vou explicitar todas as outras constantes de projeto que vou usar (valores usualmente adotados em projeto pelo método dos estados limites últimos):
  • tensão característica do aço \,f_{yk}=500\\ \text{MPa} (CA-50);
  • coeficiente de segurança do aço \,\gamma_s=1{,}15 → tensão de cálculo do aço \,f_{yd}=\dfrac{f_{yk}}{\gamma_s};
  • resistência característica do betão \,f_{ck}=25\\ \text{MPa} (C25);
  • coeficiente de segurança do betão \,\gamma_c=1{,}4 → resistência de cálculo do betão \,f_{cd}=\dfrac{f_{ck}}{\gamma_c};
  • utilização do bloco retangular equivalente com redução \alpha_{cc}=0{,}85 (forma usual: esforço de compressão equivalente \alpha_{cc} f_{cd});
  • deformação última no betão \,\varepsilon_{cu}=0{,}0035;
  • módulo de elasticidade do aço \,E_s=210\,000\\ \text{MPa}.
Não foi pedido verificar armadura mínima ou máximos normativos; vou calcular a área necessária e sugerir uma arrumação prática de barras.

Passo 2

Calcular as quantidades geométricas e as tensões de cálculo usadas:
  • Converter unidades e calcular a profundidade útil \,d.
    Dados geométricos:
    b=20\\ \text{cm}=0{,}20\\ \text{m}, \qquad h=40\\ \text{cm}=0{,}40\\ \text{m}.
    Assumimos \,c=30\\ \text{mm}=0{,}03\\ \text{m} e \,\varphi=16\\ \text{mm}=0{,}016\\ \text{m}. Então
    d = h - c - \frac{\varphi}{2} = 0{,}40 - 0{,}03 - 0{,}008 = 0{,}362\\ \text{m}.
  • Tensões de cálculo:
    f_{cd}=\frac{f_{ck}}{\gamma_c}=\frac{25}{1{,}4}=17{,}8571429\\ \text{MPa},
f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}=\frac{500}{1{,}15}=434{,}7826\\ \text{MPa}.
  • Momento solicitante convertido para unidades consistentes (N·m): M_k = 50{,}2\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 50{,}200\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Explicar o método de cálculo (aula rápida e aplicação):
  • Ideia física: na seção de betão armada à flexão simples (armadura só na face tracionada) usa-se o equilíbrio entre a força de compressão no betão equivalente e a força de tração no aço. Adota-se o bloco de tensões retangular equivalente que dá uma força de compressão
    C = \alpha_{cc}\,f_{cd}\,b\,x,
    onde \,x é a profundidade do eixo neutro medida desde a fibra comprimida até ao eixo neutro, e \alpha_{cc} é o factor do bloco (aqui 0{,}85).
  • Se o aço entrou em escoamento, a tração é
    T = A_s\,f_{yd}.
    Em equilíbrio C=T, logo
    A_s = \frac{\alpha_{cc}\,f_{cd}\,b\,x}{f_{yd}}.
  • O momento resistente (em relação à linha neutra tracionada) é a compressão vezes o braço de alavanca entre as forças (braço aproximado d-0{,}5x):
    M_{Rd} = C\,(d-0{,}5x) = \alpha_{cc}\,f_{cd}\,b\,x\,(d-0{,}5x).
    Para um momento pedido M_k (tomando-o como momento de cálculo para nosso propósito), colocamos M_{Rd}=M_k e resolvemos para \xi=\dfrac{x}{d}. É conveniente tornar adimensional:
    \frac{M_k}{f_{cd}\,b\,d^2} = \alpha_{cc}\,\xi\bigl(1-\tfrac{1}{2}\xi\bigr).
    Denotando
    \mu = \frac{M_k}{f_{cd}\,b\,d^2},
    obtemos a equação quadrática em \xi:
    \alpha_{cc}\bigl(\xi - \tfrac{1}{2}\xi^2\bigr) - \mu = 0.
Vou aplicar isso numericamente.

Passo 4

Calcular a não dimensional \mu e resolver para \xi:
  • Primeiro calcule f_{cd}\,b\,d^2: b\,d^2 = 0{,}20\cdot(0{,}362)^2 = 0{,}20\cdot0{,}131044 = 0{,}0262088\\ \text{m}^3.
f_{cd}\,b\,d^2 = 17{,}8571429\cdot10^{6}\\ \text{N/m}^2 \times 0{,}0262088\\ \text{m}^3 = 468{,}720\\ \text{N}\cdot\text{m} = 468{,}72\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Agora \mu:
    \mu = \frac{M_k}{f_{cd}\,b\,d^2} = \frac{50{,}2}{468{,}72} = 0{,}1072\\ (\text{adimensional}).
  • A equação para \xi (com \alpha_{cc}=0{,}85) é
    0{,}85\bigl(\xi - \tfrac{1}{2}\xi^2\bigr) - 0{,}1072 = 0.
    Reescrevendo:
    0{,}425\,\xi^2 - 0{,}85\,\xi + 0{,}1072 = 0.
    Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):
    \Delta = (-0{,}85)^2 - 4\cdot0{,}425\cdot0{,}1072 = 0{,}7225 - 0{,}18256 = 0{,}53994,
\sqrt{\Delta} = 0{,}7347.
As raízes são
\xi = \frac{0{,}85 \pm 0{,}7347}{2\cdot0{,}425}.
A raiz fisicamente admissível (menor que 1) é
\xi = \frac{0{,}85 - 0{,}7347}{0{,}85} = 0{,}1356\\ (\text{aprox.}).
  • Portanto a profundidade do eixo neutro é x = \xi\,d = 0{,}1356\cdot0{,}362 = 0{,}0491\\ \text{m} = 49{,}1\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular a área de aço necessária \,A_s usando o equilíbrio de forças:
  • Força de compressão: C = \alpha_{cc}\,f_{cd}\,b\,x = 0{,}85\cdot17{,}857\dots\times10^{6}\cdot0{,}20\cdot0{,}0491.Vou calcular passo a passo: \alpha_{cc}\,f_{cd} = 0{,}85\cdot17{,}8571429 = 15{,}178571\\ \text{MPa} = 15{,}178571\times10^{6}\\ \text{N/m}^2.
C = 15{,}178571\times10^{6}\cdot0{,}20\cdot0{,}0491 = 149{,}480\\ \text{N}.
  • Assim A_s = \frac{C}{f_{yd}} = \frac{149{,}480}{434{,}782{,}6} = 0{,}0003438\\ \text{m}^2 = 343{,}8\\ \text{mm}^2.
Arredondando para um valor prático: \,A_s \approx 344\\ \text{mm}^2.

Passo 6

Verificar o domínio (verificar se o aço efetivamente escoa — isto define o domínio):
  • A deformação do aço na face tracionada (assumindo compatibilidade linear de deformações) é \varepsilon_s = \varepsilon_{cu}\,\frac{d-x}{x}.Substituindo valores: d-x = 0{,}362 - 0{,}0491 = 0{,}3129\\ \text{m}.
\varepsilon_s = 0{,}0035\cdot\frac{0{,}3129}{0{,}0491} = 0{,}0035\cdot6{,}374 \approx 0{,}02231.
  • Deformação de escoamento do aço (com a tensão de cálculo f_{yd}) é aproximadamente
    \varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s} = \frac{434{,}782{,}6}{210{,}000} \approx 0{,}00207.
  • Comparação: \varepsilon_s \approx 0{,}0223 \gg \varepsilon_{yd}\approx 0{,}00207. Logo o aço atinge o escoamento antes do esmagamento do betão — situação dúctil. Isso corresponde ao domínio de deformação onde o aço entra em escoamento (na nomenclatura de domínios de deformação costuma-se chamar de “Domínio 2” — domínio desejável de projeto por ser dúctil).

Passo 7

Verificação prática de quantas barras adotar (sugestão prática):
  • Área de uma barra lisa de diâmetro \varphi: A_{\varphi} = \frac{\pi\varphi^2}{4}.Para \varphi=16\\ \text{mm}: A_{16} = \frac{\pi\cdot16^2}{4} = 201{,}06\\ \text{mm}^2.Duas barras \,2\phi16 dão 2\cdot201{,}06=402{,}12\\ \text{mm}^2 (maior que os 344\\ \text{mm}^2 necessários) — solução prática e confortável.
    Para barras \varphi=12\\ \text{mm}, A_{12}=113{,}1\\ \text{mm}^2 e 3\phi12=339{,}3\\ \text{mm}^2 (ligeiramente abaixo do necessário: 339{,}3 < 343{,}8), portanto 3 \phi12 é insuficiente estritamente. Logo uma solução prática mínima coerente é adotar 2\phi16.

Passo 8

Resumo final e observações:
  • Calculamos \,x=49{,}1\\ \text{mm}, \,A_s\approx344\\ \text{mm}^2.
  • Verificamos \varepsilon_s \gg \varepsilon_{yd}, portanto o aço escoa — domínio dúctil (Domínio 2).
  • Sugestão prática: adotar 2\phi16 ( A_s\approx402\\ \text{mm}^2) para ficar com margem; se quiser economia, poderia procurar 3\phi12 mas este fica levemente abaixo do requisito calculado.

Resposta

Domínio: Domínio 2 (o aço entra em escoamento antes do esmagamento do betão).
Área de aço necessária: \,A_s \approx 344\\ \text{mm}^2. Sugestão prática: 2\phi16 ( A_s=402\\ \text{mm}^2).

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