Uma determinada pessoa, quando tem dores de cabeça, escolhe ao acaso um dentre dois analgésicos ( A e B ). Se um deles tem probabilidade
de aliviar a dor ( D ) e o outro tem probabilidade
, qual é a probabilidade de que passe a dor de cabeça desta pessoa? Considere
.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a dor de cabeça passe. Dados fornecidos:
- A pessoa escolhe aleatoriamente entre os analgésicos
e , com . - Um dos analgésicos tem probabilidade
de aliviar a dor e o outro tem probabilidade de aliviar a dor. - O enunciado não diz qual analgésico tem qual probabilidade; portanto podemos assumir, sem perda, que
e (ou o contrário — o resultado será o mesmo porque ).
Passo 2
Vamos definir eventos para organizar a ideia.
- Seja
o evento “a dor passa”. - Seja
o evento "foi escolhido o analgésico ". - Seja
o evento "foi escolhido o analgésico ".
Agora a ferramenta que usamos aqui é a soma das probabilidades condicionais ponderadas pela probabilidade de cada escolha. Em palavras: a probabilidade de
é a soma da probabilidade de escolher cada analgésico multiplicada pela probabilidade de
dado aquele analgésico. Em fórmula isso fica:
Explicação das peças:
é a chance de escolher
;
é a chance de dor passar sabendo que
foi escolhido; multiplicando obtemos a contribuição de
para o evento
. Fazemos o mesmo para
e somamos.
Passo 3
Substituímos os valores conhecidos na fórmula. Tomando
e
(a escolha de qual corresponde a
ou
não altera o resultado):
Calculamos cada termo separadamente:
Somando:
Para somar frações usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores
e
, que é
. Transformando:
Passo 4
Interpretação rápida e incentivo: a probabilidade de que a dor passe é
, ou cerca de
(ou
). Isso significa que, escolhendo aleatoriamente entre os dois remédios com as probabilidades dadas, a chance de sucesso é pouco maior que
. Bom trabalho — esse tipo de problema é sempre aplicar a soma das contribuições condicionais; com prática fica fácil lembrar de multiplicar e somar direitinho.