Uma determinada pessoa, quando tem dores de cabeça, escolhe ao acaso um dentre dois analgésicos ( A e B ). Se um deles tem probabilidade 3 / 4 de aliviar a dor ( D ) e o outro tem probabilidade 2 / 3, qual é a probabilidade de que passe a dor de cabeça desta pessoa? Considere \mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{B})=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a dor de cabeça passe. Dados fornecidos:
  • A pessoa escolhe aleatoriamente entre os analgésicos A e B, com \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=\tfrac{1}{2}.
  • Um dos analgésicos tem probabilidade \tfrac{3}{4} de aliviar a dor e o outro tem probabilidade \tfrac{2}{3} de aliviar a dor.
  • O enunciado não diz qual analgésico tem qual probabilidade; portanto podemos assumir, sem perda, que \mathrm{P}(D\mid A)=\tfrac{3}{4} e \mathrm{P}(D\mid B)=\tfrac{2}{3} (ou o contrário — o resultado será o mesmo porque \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)).

Passo 2

Vamos definir eventos para organizar a ideia.
  • Seja D o evento “a dor passa”.
  • Seja A o evento "foi escolhido o analgésico A".
  • Seja B o evento "foi escolhido o analgésico B".
Agora a ferramenta que usamos aqui é a soma das probabilidades condicionais ponderadas pela probabilidade de cada escolha. Em palavras: a probabilidade de D é a soma da probabilidade de escolher cada analgésico multiplicada pela probabilidade de D dado aquele analgésico. Em fórmula isso fica:
\mathrm{P}(D)=\mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(D\mid A)+\mathrm{P}(B)\,\mathrm{P}(D\mid B).
Explicação das peças: \mathrm{P}(A) é a chance de escolher A; \mathrm{P}(D\mid A) é a chance de dor passar sabendo que A foi escolhido; multiplicando obtemos a contribuição de A para o evento D. Fazemos o mesmo para B e somamos.

Passo 3

Substituímos os valores conhecidos na fórmula. Tomando \mathrm{P}(D\mid A)=\tfrac{3}{4} e \mathrm{P}(D\mid B)=\tfrac{2}{3} (a escolha de qual corresponde a A ou B não altera o resultado):
\mathrm{P}(D)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}.
Calculamos cada termo separadamente:
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{8},
\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Somando:
\mathrm{P}(D)=\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{3}.
Para somar frações usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores 8 e 3, que é 24. Transformando:
\tfrac{3}{8}=\tfrac{9}{24},\qquad \tfrac{1}{3}=\tfrac{8}{24},
\mathrm{P}(D)=\tfrac{9}{24}+\tfrac{8}{24}=\tfrac{17}{24}.

Passo 4

Interpretação rápida e incentivo: a probabilidade de que a dor passe é \tfrac{17}{24}, ou cerca de 0,7083 (ou 70{,}83\%). Isso significa que, escolhendo aleatoriamente entre os dois remédios com as probabilidades dadas, a chance de sucesso é pouco maior que 70\%. Bom trabalho — esse tipo de problema é sempre aplicar a soma das contribuições condicionais; com prática fica fácil lembrar de multiplicar e somar direitinho.

Resposta

\tfrac{17}{24}

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