Uma determinada reação de primeira ordem apresenta meia vida igual a 180 s . Qual o percentual da concentração inicial do reagente permanece após 900 s ?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir qual percentual da concentração inicial do reagente permanece após 900 s, sabendo que a reação é de primeira ordem e que a meia-vida vale 180 s.
Dados fornecidos:
t_{1/2}=180\\ \text{s},\qquad t=900\\ \text{s}.
Pergunta: qual porcentagem da concentração inicial C_0 resta em t=900 s?

Passo 2

Entendendo a ideia prática (método mais direto para prova): meia-vida significa que a cada intervalo igual a t_{1/2} a concentração fica pela metade. Então, se passarmos por n meias-vidas, a fração restante é (1/2)^n. Calculemos quantas meias-vidas couberam em 900 s:
n=\frac{t}{t_{1/2}}=\frac{900}{180}=5.
Portanto a fração da concentração que resta é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}.
Agora convertemos para decimal e depois para porcentagem:
\frac{1}{32}=0,03125,
o que em porcentagem é
0,03125\times 100\% = 3,125\%.

Passo 3

(Aqui eu mostro também a derivação usando a lei exponencial — útil para entender a fórmula e para casos em que não caibam números inteiros de meias-vidas.) Para cinética de primeira ordem a concentração varia como
C(t)=C_0 e^{-kt},
onde C_0 é a concentração inicial, k é a constante de velocidade e t o tempo. A meia-vida satisfaz
\frac{C_0}{2}=C_0 e^{-k t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad e^{-k t_{1/2}}=\tfrac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural,
-k t_{1/2}=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Para t=900 s,
\frac{C(t)}{C_0}=e^{-k t}=e^{-\frac{\ln 2}{t_{1/2}}\,t}=e^{-\ln 2\cdot\frac{t}{t_{1/2}}}.
Usando \frac{t}{t_{1/2}}=5,
\frac{C(t)}{C_0}=e^{-5\ln 2}= (e^{\ln 2})^{-5}=2^{-5}=\frac{1}{32}=0,03125=3,125\%.
Isso confirma o resultado do método das meias-vidas.

Passo 4

Interpretação final rápida: após 900 s (que são 5 meias-vidas) resta apenas uma pequena fração da concentração inicial, exatamente 1/32, ou cerca de 3,125\%. Isso é típico de decaimento exponencial — cada meia-vida corta pela metade.

Resposta

3,125\%

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