A reação química \mathrm{M} \longrightarrow Produtos, envolvendo um monômero orgânico, foi estudada a 25^{\circ} \mathrm{C} através do acompanhamento de sua concentração em diversos tempos, como mostra a tabela a seguir. Determine a ordem e a constante de velocidade desta reação
\mathrm{t}(\mathrm{s}) [\mathrm{M}]
0 1.0
5 0.9
10 0.81
15 0.72
20 0.64
30 0.49
40 0.36
50 0.25
60 0.16
70 0.09

Passo 1

O enunciado dá os valores da concentração do monômero \mathrm{M} em vários tempos e pede que eu determine a ordem da reação e a constante de velocidade. Dados relevantes (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} t\\ (\mathrm{s}) & [\mathrm{M}] \\\ \hline 0 & 1{,}0\\\\ 5 & 0{,}9\\\\ 10 & 0{,}81\\\\ 15 & 0{,}72\\\\ 20 & 0{,}64\\\\ 30 & 0{,}49\\\\ 40 & 0{,}36\\\\ 50 & 0{,}25\\\\ 60 & 0{,}16\\\\ 70 & 0{,}09 \end{array}
O que se pede:
  • Determinar a ordem da reação (ou seja, o expoente n na lei de velocidade v = k[\mathrm{M}]^{n}).
  • Determinar a constante de velocidade k numérica e com unidades apropriadas.

Passo 2

Estratégia didática (sem pular etapas): para descobrir a ordem, vou testar as formas integradas mais comuns e procurar linearidade. As verificações clássicas são:
  • Ordem zero: testar se [\mathrm{M}] versus t é linear.
  • Ordem um: testar se \ln([\mathrm{M}]) versus t é linear.
  • Ordem dois: testar se 1/[\mathrm{M}] versus t é linear.
    Mas também posso testar outras transformações se desconfiar de ordens fracionárias (como 1/2). Uma maneira prática é olhar padrões nos números: se os valores seguem uma relação algébrica simples, isso dá pista do n. Vou calcular as transformações acima e também \sqrt{[\mathrm{M}]} (que é a transformação natural se a lei integrada envolver potência 1/2).

Passo 3

Calculemos \sqrt{[\mathrm{M}]} para cada tempo (faço aproximações onde necessário):
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\mathrm{s}) & [\mathrm{M}] & \sqrt{[\mathrm{M}]} \\\ \hline 0 & 1{,}0 & 1{,}000 \\\\ 5 & 0{,}9 & 0{,}949 \\\\ 10 & 0{,}81 & 0{,}900 \\\\ 15 & 0{,}72 & 0{,}849 \\\\ 20 & 0{,}64 & 0{,}800 \\\\ 30 & 0{,}49 & 0{,}700 \\\\ 40 & 0{,}36 & 0{,}600 \\\\ 50 & 0{,}25 & 0{,}500 \\\\ 60 & 0{,}16 & 0{,}400 \\\\ 70 & 0{,}09 & 0{,}300 \end{array}
Observação prática: esses valores seguem exatamente (ou muito perto, considerando arredondamentos) uma relação linear simples:
\sqrt{[\mathrm{M}]} = 1 - 0{,}01\,t.
Verificação rápida com dois pontos: em t=0 1; em t=70 1-0{,}01\cdot70=0{,}30, que coincide com \sqrt{0{,}09}=0{,}30. Então \sqrt{[\mathrm{M}]} é função linear de t com inclinação -0{,}01\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Interpretação teórica e ligação com a ordem:
A lei geral integrada para uma reação elementar de ordem n (com n\neq1) é obtida integrando
\frac{d[\mathrm{M}]}{dt} = -k[\mathrm{M}]^{n}.
A integral dá, para n\neq1,
[\mathrm{M}]^{\,1-n} = [\mathrm{M}]_0^{\,1-n} - k(1-n)\,t.
Agora, se n=\tfrac{1}{2}, então 1-n=\tfrac{1}{2} e a expressão fica
[\mathrm{M}]^{1/2} = [\mathrm{M}]_0^{1/2} - \frac{k}{2}\,t.
Isso mostra que, para n=\tfrac{1}{2}, plotando \sqrt{[\mathrm{M}]} versus t deve resultar numa reta de declive -\dfrac{k}{2}. Como no passo anterior vimos que
\sqrt{[\mathrm{M}]} = 1 - 0{,}01\,t,
podemos identificar [{\mathrm{M}}]_0^{1/2}=1 (coerente com [{\mathrm{M}}]_0=1) e o declive
-\frac{k}{2} = -0{,}01\\ \Rightarrow\\ \frac{k}{2}=0{,}01.

Passo 5

Cálculo da constante k e unidades:
Da igualdade \dfrac{k}{2}=0{,}01 obtemos
k = 2\cdot 0{,}01 = 0{,}02.
Unidades: a lei de velocidade é v = k[\mathrm{M}]^{1/2}. A unidade de velocidade é [\mathrm{M}]\\ \mathrm{s}^{-1}. Logo as unidades de k são
\frac{[\mathrm{M}]\\ \mathrm{s}^{-1}}{[\mathrm{M}]^{1/2}} = [\mathrm{M}]^{1/2}\,\mathrm{s}^{-1}.
Se a concentração estiver em mol·L^{-1} (unidade comum), então
\text{unidade de }k = \mathrm{mol}^{1/2}\,\mathrm{L}^{-1/2}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Cheque final (substituição direta): com k=0{,}02 e [{\mathrm{M}}]_0=1,
[\mathrm{M}] = \big([{\mathrm{M}}]_0^{1/2} - \tfrac{k}{2}t\big)^2 = \big(1 - 0{,}01t\big)^2,
o que reproduz exatamente os valores da tabela (por exemplo, em t=20 temos (1-0{,}2)^2=0{,}64, em t=50 (1-0{,}5)^2=0{,}25 etc.). Portanto a solução está consistente.

Resposta

Ordem: \tfrac{1}{2}
Constante de velocidade: k=0{,}02\\ \mathrm{mol^{1/2}\,L^{-1/2}\,s^{-1}}

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