A fermentação do açúcar catalisada por enzimas é uma reação de primeira ordem:
A taxa de desaparecimento do açúcar é dada por
. Qual a meia-vida dessa reação? Determine a quantidade de açúcar presente no meio reacional 2 h e 20 min após o início da fermentação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) a meia-vida da reação e (2) a quantidade de açúcar presente no meio reacional após 2 h e 20 min do início. As informações dadas são:
e o tempo para a segunda parte é
, que depois vamos converter para segundos. Não foi fornecida uma quantidade inicial numérica de açúcar, então teremos que dar a quantidade remanescente em função da quantidade inicial
(ou como porcentagem de
).
Passo 2
Vamos recordar e deduzir a fórmula que liga a concentração (ou quantidade) com o tempo em uma reação de desaparecimento de primeira ordem. A lei diferencial para uma reação de primeira ordem é
onde
é a quantidade de açúcar no tempo
e
é a constante de velocidade (
). Explicando cada símbolo:
é a variação instantânea da quantidade com o tempo; o sinal negativo indica que
diminui;
mede a rapidez da decaída.
Para resolver essa equação diferencial separamos variáveis e integramos:
Agora integramos ambos os lados entre as condições
e
:
A integral do lado esquerdo dá
e a do lado direito dá
. Assim:
Exponenciando, obtemos a lei integrada da primeira ordem:
Isso significa: a cada instante
a quantidade é a inicial multiplicada por
. Ótimo — agora temos a expressão que usaremos.
Passo 3
Agora deduzimos a fórmula da meia-vida. A meia-vida
é o tempo necessário para que
reduza à metade de
. Logo colocamos
na lei integrada:
Cancelamos
(assumindo
) e obtemos
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Como
, isolamos
:
Essa é a fórmula padrão: para primeira ordem, a meia-vida não depende de
, só de
.
Passo 4
Agora calculamos numericamente
usando
. Substituindo:
Calculando
, temos
Fazendo a divisão:
Convertendo para minutos dividindo por
:
Interpretação: a meia-vida é cerca de
, ou aproximadamente
minutos.
Passo 5
Agora determinamos a quantidade de açúcar após
. Primeiro convertemos esse tempo para segundos:
Usamos a lei integrada
e substituímos
e
:
Calculamos o expoente:
Logo
Passo 6
Agora avaliamos numericamente
. Aproximando,
Portanto a quantidade de açúcar restante é aproximadamente
Em porcentagem do inicial:
Ou seja, após
resta aproximadamente
do açúcar inicial.
Passo 7
Resumo prático para a prova: use sempre
para meia-vida de primeira ordem e
para achar a fração/quantidade remanescente. Se o enunciado não der
, entregue a resposta em função de
ou em porcentagem, como fiz aqui. Força — você consegue!