A fermentação do açúcar catalisada por enzimas é uma reação de primeira ordem:
\text { Açúcar }+ \text { Enzima } \longrightarrow \text { Produtos }çú
A taxa de desaparecimento do açúcar é dada por k=3.3 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1}. Qual a meia-vida dessa reação? Determine a quantidade de açúcar presente no meio reacional 2 h e 20 min após o início da fermentação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a meia-vida da reação e (2) a quantidade de açúcar presente no meio reacional após 2 h e 20 min do início. As informações dadas são:
k = 3{,}3\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}
e o tempo para a segunda parte é 2\\ \mathrm{h}\\\ 20\\ \mathrm{min}, que depois vamos converter para segundos. Não foi fornecida uma quantidade inicial numérica de açúcar, então teremos que dar a quantidade remanescente em função da quantidade inicial N_0 (ou como porcentagem de N_0).

Passo 2

Vamos recordar e deduzir a fórmula que liga a concentração (ou quantidade) com o tempo em uma reação de desaparecimento de primeira ordem. A lei diferencial para uma reação de primeira ordem é
\frac{dN}{dt} = -kN,
onde N(t) é a quantidade de açúcar no tempo t e k é a constante de velocidade ( k>0). Explicando cada símbolo: dN/dt é a variação instantânea da quantidade com o tempo; o sinal negativo indica que N diminui; k mede a rapidez da decaída.
Para resolver essa equação diferencial separamos variáveis e integramos:
\frac{dN}{N} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados entre as condições N(0)=N_0 e N(t)=N:
\int_{N_0}^{N} \frac{dN'}{N'} = -\int_{0}^{t} k\,dt'.
A integral do lado esquerdo dá \ln\!\left(\dfrac{N}{N_0}\right) e a do lado direito dá -kt. Assim:
\ln\!\left(\frac{N}{N_0}\right) = -kt.
Exponenciando, obtemos a lei integrada da primeira ordem:
N(t) = N_0\,e^{-kt}.
Isso significa: a cada instante t a quantidade é a inicial multiplicada por e^{-kt}. Ótimo — agora temos a expressão que usaremos.

Passo 3

Agora deduzimos a fórmula da meia-vida. A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que N reduza à metade de N_0. Logo colocamos N(t_{1/2}) = N_0/2 na lei integrada:
\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-k t_{1/2}}.
Cancelamos N_0 (assumindo N_0\neq 0) e obtemos
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, isolamos t_{1/2}:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Essa é a fórmula padrão: para primeira ordem, a meia-vida não depende de N_0, só de k.

Passo 4

Agora calculamos numericamente t_{1/2} usando k = 3{,}3\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}. Substituindo:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{3{,}3\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}}.
Calculando \ln 2 \approx 0{,}693147, temos
t_{1/2} \approx \frac{0{,}693147}{3{,}3\times 10^{-4}}\\ \mathrm{s}.
Fazendo a divisão:
t_{1/2} \approx 2100{,}45\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos dividindo por 60:
t_{1/2} \approx 35{,}0075\\ \mathrm{min}\approx 35{,}01\\ \mathrm{min}.
Interpretação: a meia-vida é cerca de 2100{,}45\\ \mathrm{s}, ou aproximadamente 35{,}0 minutos.

Passo 5

Agora determinamos a quantidade de açúcar após 2\\ \mathrm{h}\\\ 20\\ \mathrm{min}. Primeiro convertemos esse tempo para segundos:
2\\ \mathrm{h}\\\ 20\\ \mathrm{min} = 2\times 3600\\ \mathrm{s} + 20\times 60\\ \mathrm{s} = 7200\\ \mathrm{s} + 1200\\ \mathrm{s} = 8400\\ \mathrm{s}.
Usamos a lei integrada N(t)=N_0 e^{-kt} e substituímos k e t:
N(8400\\ \mathrm{s}) = N_0 \, e^{-(3{,}3\times 10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1})\times 8400\\ \mathrm{s}}.
Calculamos o expoente:
-(3{,}3\times 10^{-4})\times 8400 = -2{,}772.
Logo
N(8400\\ \mathrm{s}) = N_0\,e^{-2{,}772}.

Passo 6

Agora avaliamos numericamente e^{-2{,}772}. Aproximando,
e^{-2{,}772}\approx 0{,}06257.
Portanto a quantidade de açúcar restante é aproximadamente
N(8400\\ \mathrm{s}) \approx 0{,}06257\,N_0.
Em porcentagem do inicial:
\frac{N(8400\\ \mathrm{s})}{N_0}\times 100\% \approx 6{,}257\%.
Ou seja, após 2\\ \mathrm{h}\\\ 20\\ \mathrm{min} resta aproximadamente 6{,}26\% do açúcar inicial.

Passo 7

Resumo prático para a prova: use sempre t_{1/2}=\ln 2/k para meia-vida de primeira ordem e N(t)=N_0 e^{-kt} para achar a fração/quantidade remanescente. Se o enunciado não der N_0, entregue a resposta em função de N_0 ou em porcentagem, como fiz aqui. Força — você consegue!

Resposta

t_{1/2}\approx 2100{,}45\\ \mathrm{s}\approx 35{,}01\\ \mathrm{min}\n
N(2\\ \mathrm{h}\\\ 20\\ \mathrm{min}) \approx 0{,}06257\,N_0 \approx 6{,}257\%\,N_0

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