Em um determinado sistema, tem-se gás Hélio a 25 C e 4 bar contido no interior de um cilindro de vidro com 200 mm de diâmetro interno e espessura de parede igual a 10 mm. Para esta situação: Dados: D He-vidro (25 C)=5 times 10^-14 m^2 / s, solubilidade do He no vidro a 25 C H He-vidro =4,5 times 10^-4 kmol /(m^3 bar).
Encontre a expressão para a distribuição de concentração do soluto em função do raio na parede de vidro;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos um cilindro de vidro que contém gás hélio a 25°C e 4 bar. As dimensões do cilindro são: diâmetro interno de 200 mm e espessura da parede de 10 mm. Os dados que a gente tem são a difusividade do hélio no vidro ( DHe-vidro = 5 times 10^-14 m^2/s) e a solubilidade do hélio no vidro ( HHe-vidro = 4,5 times 10^-4 kmol/(m^3 cdot bar)).
O que a gente precisa encontrar é a expressão que descreve como a concentração do hélio varia em função do raio dentro da parede de vidro. Para isso, vamos usar conceitos de difusão, mais especificamente a Lei de Fick para difusão estacionária em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação geométrica. O cilindro tem diâmetro interno de 200 mm, o que significa que o raio interno ( ri) é metade disso:
ri = 200 mm2 = 100 mm = 0,1 m
A espessura da parede é de 10 mm, então o raio externo ( re) é:
re = ri + espessura = 0,1 m + 0,01 m = 0,11 m

Passo 3

Vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, a concentração do hélio não muda com o tempo. Nesse caso, a equação de difusão em coordenadas cilíndricas, sem dependência angular e axial, é dada por:
1r ddr ( r dCdr ) = 0
Onde C é a concentração de hélio em função do raio r.

Passo 4

Integrando a equação, temos:
r dCdr = constante = A
Então:
dCdr = Ar
Integrando novamente:
C(r) = A ln(r) + B
Onde A e B são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

As condições de contorno são:
  1. No raio interno ( ri = 0,1 m), a concentração de hélio é igual à solubilidade vezes a pressão:
C(ri) = HHe-vidro cdot P = 4,5 times 10^-4 kmolm^3 cdot bar times 4 bar = 1,8 times 10^-3 kmolm^3
  1. No raio externo ( re = 0,11 m), assumimos que a concentração de hélio é zero porque todo o hélio se difunde para o interior.
Então:
C(re) = 0 = A ln(re) + B

Passo 6

Vamos usar essas duas condições para encontrar A e B.
Primeira condição:
C(ri) = A ln(ri) + B = 1,8 times 10^-3 kmolm^3
Segunda condição:
C(re) = A ln(re) + B = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
A ln(rire) = 1,8 times 10^-3 kmolm^3
Então:
A = 1,8 times 10^-3ln(ri/re)
A = 1,8 times 10^-3ln(0,1/0,11) approx 1,8 times 10^-3ln(0,909) approx 1,8 times 10^-3-0,09531 approx -1,89 times 10^-2 kmolm^3
Agora, usando a segunda condição para encontrar B:
0 = A ln(0,11) + B Rightarrow B = -A ln(0,11)
B = 1,89 times 10^-2 times ln(0,11) approx 1,89 times 10^-2 times (-2,207) approx -4,17 times 10^-2 kmolm^3

Passo 7

Agora, substituímos A e B na expressão geral da concentração:
C(r) = A ln(r) + B = -1,89 times 10^-2 ln(r) - 4,17 times 10^-2
Podemos fatorar:
C(r) = -1,89 times 10^-2 (ln(r) + 2,207)
Simplificando:
C(r) = -1,89 times 10^-2 ln( r0,11 )

Resposta

A distribuição da concentração de hélio em função do raio na parede de vidro é dada por:
C(r) = -1,89 times 10^-2 ln( r0,11 ) kmolm^3

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