Em um determinado sistema, tem-se gás Hélio a 25 C e 4 bar contido no interior de um cilindro de vidro com 200 mm de diâmetro interno e espessura de parede igual a 10 mm. Para esta situação: Dados:
, solubilidade do He no vidro a 25 C
.
Encontre a expressão para a distribuição de concentração do soluto em função do raio na parede de vidro;
Encontre a expressão para a distribuição de concentração do soluto em função do raio na parede de vidro;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. Temos um cilindro de vidro que contém gás hélio a 25°C e 4 bar. As dimensões do cilindro são: diâmetro interno de 200 mm e espessura da parede de 10 mm. Os dados que a gente tem são a difusividade do hélio no vidro (
) e a solubilidade do hélio no vidro (
).
O que a gente precisa encontrar é a expressão que descreve como a concentração do hélio varia em função do raio dentro da parede de vidro. Para isso, vamos usar conceitos de difusão, mais especificamente a Lei de Fick para difusão estacionária em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação geométrica. O cilindro tem diâmetro interno de 200 mm, o que significa que o raio interno (
) é metade disso:
A espessura da parede é de 10 mm, então o raio externo (
) é:
Passo 3
Vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, a concentração do hélio não muda com o tempo. Nesse caso, a equação de difusão em coordenadas cilíndricas, sem dependência angular e axial, é dada por:
Onde
é a concentração de hélio em função do raio
.
Passo 4
Integrando a equação, temos:
Então:
Integrando novamente:
Onde
e
são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
As condições de contorno são:
- No raio interno (
), a concentração de hélio é igual à solubilidade vezes a pressão:
- No raio externo (
), assumimos que a concentração de hélio é zero porque todo o hélio se difunde para o interior.
Então:
Passo 6
Vamos usar essas duas condições para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então:
Agora, usando a segunda condição para encontrar
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão geral da concentração:
Podemos fatorar:
Simplificando:
Resposta
A distribuição da concentração de hélio em função do raio na parede de vidro é dada por: