Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{ \begin{aligned} x-2 y+5 z & =2 \\ 3 x+2 y-z & =-2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto-solução do sistema linear formado por duas equações com três incógnitas. As informações dadas são as duas equações:
\begin{cases} x - 2y + 5z = 2,\\[4pt] 3x + 2y - z = -2. \end{cases}
O objetivo é encontrar todos os triplos (x,y,z) que satisfazem as duas igualdades simultaneamente.]

Passo 2

Primeira ação algébrica simples: procurar eliminar uma incógnita somando ou subtraindo as equações. Se somarmos as duas equações, os termos em y se cancelam porque um tem -2y e o outro +2y. Vamos somar as equações termo a termo:
(x - 2y + 5z) + (3x + 2y - z) = 2 + (-2).
Agora compute cada soma:
x + 3x = 4x,\qquad -2y + 2y = 0,\qquad 5z - z = 4z,
e do lado direito 2 + (-2) = 0. Assim obtemos a equação reduzida
4x + 4z = 0.

Passo 3

Simplifique a equação obtida dividindo por 4:
x + z = 0.
Isto nos dá uma relação direta entre x e z:
x = -z.
Explique o que isso significa: com duas equações e três incógnitas, normalmente sobra pelo menos uma variável livre — isto aqui aparece como z não determinado pela combinação das equações; x fica expresso em função de z.

Passo 4

Substitua x = -z em uma das equações originais para encontrar y em função de z. Usando a primeira equação:
(-z) - 2y + 5z = 2.
Agora junte os termos em z:
(-z + 5z) - 2y = 2 \quad\Longrightarrow\quad 4z - 2y = 2.
Isolando y:
-2y = 2 - 4z \quad\Longrightarrow\quad y = 2z - 1.

Passo 5

Introduza um parâmetro para representar a variável livre. Seja t um número real qualquer e defina
z = t.
Usando as relações que já obtivemos, escrevemos x e y em função de t:
x = -t,\qquad y = 2t - 1.
Comentário didático rápido: parametrizar por t é a maneira padrão de descrever famílias infinitas de soluções quando há variáveis livres. Aqui temos uma família unidimensional (uma reta) de soluções em \mathbb{R}^3.

Passo 6

Verificação (boa prática para a prova): substituir (x,y,z)=(-t,\,2t-1,\,t) de volta nas duas equações para checar que funcionam para todo t.
Substituindo na primeira:
x - 2y + 5z = (-t) - 2(2t-1) + 5t = -t -4t +2 +5t = 2.
Substituindo na segunda:
3x + 2y - z = 3(-t) + 2(2t-1) - t = -3t +4t -2 - t = -2.
Ambas identidades são verdadeiras para todo t, logo a parametrização está correta.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y,z)=(-t,\,2t-1,\,t),\\ t\in\mathbb{R}\}