Determinar o conjunto-solução dos sistemas de equações lineares.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto-solução do sistema linear formado por duas equações com três incógnitas. As informações dadas são as duas equações:
O objetivo é encontrar todos os triplos
que satisfazem as duas igualdades simultaneamente.]
Passo 2
Primeira ação algébrica simples: procurar eliminar uma incógnita somando ou subtraindo as equações. Se somarmos as duas equações, os termos em
se cancelam porque um tem
e o outro
. Vamos somar as equações termo a termo:
Agora compute cada soma:
e do lado direito
. Assim obtemos a equação reduzida
Passo 3
Simplifique a equação obtida dividindo por
:
Isto nos dá uma relação direta entre
e
:
Explique o que isso significa: com duas equações e três incógnitas, normalmente sobra pelo menos uma variável livre — isto aqui aparece como
não determinado pela combinação das equações;
fica expresso em função de
.
Passo 4
Substitua
em uma das equações originais para encontrar
em função de
. Usando a primeira equação:
Agora junte os termos em
:
Isolando
:
Passo 5
Introduza um parâmetro para representar a variável livre. Seja
um número real qualquer e defina
Usando as relações que já obtivemos, escrevemos
e
em função de
:
Comentário didático rápido: parametrizar por
é a maneira padrão de descrever famílias infinitas de soluções quando há variáveis livres. Aqui temos uma família unidimensional (uma reta) de soluções em
.
Passo 6
Verificação (boa prática para a prova): substituir
de volta nas duas equações para checar que funcionam para todo
.
Substituindo na primeira:
Substituindo na primeira:
Substituindo na segunda:
Ambas identidades são verdadeiras para todo
, logo a parametrização está correta.