determinar se os conjuntos de vetores nos exercícios de 22 a 31 são linearmente independentes. Se, para algum deles, a resposta puder ser determinada por inspeção (isto é, sem contas), diga por quê. Para quaisquer conjuntos linearmente dependentes, encontre a relação de dependência entre os vetores.
\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = \begin{pmatrix}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_2 = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{pmatrix},
e pede para verificar se eles são linearmente independentes. Lembrando que, em \mathbb{R}^3, dois vetores são linearmente independentes sempre que não são múltiplos um do outro (isto é, não estão na mesma reta passando pela origem).

Passo 2

Para ver por inspeção, suponha que exista k tal que
v_2 = k\,v_1.
Isto exigiria
2k = -1 \quad\text{e}\quad -1\cdot k = 2,
ou seja, k=-\tfrac12 pela primeira coordenada e k=-2 pela segunda, o que é impossível. Logo não há escalar k que torne v_2 proporcional a v_1, ou seja, eles não são colineares.

Resposta

O conjunto \{v_1,v_2\} é linearmente independente.

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