Determinar as coordenadas do vértice, foco e a equação da diretriz das seguintes parábolas:
(f) x^{2}-6 x+9 y+63=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vértice, o foco e a diretriz da parábola definida por
x^{2}-6x+9y+63=0.
O conteúdo envolvido é classificação de cônicas (parábola), completamento do quadrado e conversão para a forma padrão
(x-h)^{2}=4p\,(y-k).

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x. Escrevemos
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9.
Substituindo na equação original:
(x-3)^{2}-9 + 9y + 63 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + 9y +54 = 0.
Isolando y:
9y = - (x-3)^{2} - 54 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{9}(x-3)^{2} - 6.

Passo 3

Reescrevemos em forma padrão (x-h)^{2}=4p\,(y-k). A partir de
y + 6 = -\frac{1}{9}(x-3)^{2},
multiplicamos ambos os lados por -9:
(x-3)^{2} = -9\,(y+6).
Logo 4p = -9, portanto
p = -\frac{9}{4}.
E o vértice (h,k) é
(h,k) = (3,\,-6).

Passo 4

O foco de uma parábola (x-h)^{2}=4p\,(y-k) fica em
(h,\;k+p).
Aqui,
k+p = -6 - \frac{9}{4} = -\frac{24}{4}-\frac{9}{4} = -\frac{33}{4}.
Portanto o foco é
\bigl(3,\,-\tfrac{33}{4}\bigr).

Passo 5

A diretriz é a reta
y = k - p.
Substituindo k=-6 e p = -\tfrac{9}{4}:
y = -6 - \bigl(-\tfrac{9}{4}\bigr) = -6 + \tfrac{9}{4} = -\tfrac{24}{4} + \tfrac{9}{4} = -\tfrac{15}{4}.

Resposta

Vértice: \bigl(3,-6\bigr)
Foco: \bigl(3,-\tfrac{33}{4}\bigr)
Diretriz: y=-\tfrac{15}{4}

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