Determinar as coordenadas do vértice, foco e a equação da diretriz das seguintes parábolas:
(h) y^{2}-8 x-6 y-7=0

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida pela equação
y^{2}-8x-6y-7=0
e pede o vértice, o foco e a equação da diretriz. Isso envolve reconhecer que é uma parábola cujos termos quadráticos estão em y, completar o quadrado em y e depois usar a forma padrão
(y-k)^{2}=4p\,(x-h).

Passo 2

Reescrevendo e completando o quadrado em y:
y^{2}-6y-8x-7=0
(y^{2}-6y+9)-9-8x-7=0
(y-3)^{2}-8x-16=0
(y-3)^{2}=8x+16
(y-3)^{2}=8\,(x+2).

Passo 3

Comparando com (y-k)^{2}=4p\,(x-h), temos
h=-2,\quad k=3,\quad 4p=8\;\Longrightarrow\;p=2.
Logo o vértice é
V=(h,k)=(-2,3).

Passo 4

Para parábolas orientadas para a direita:
– O foco fica a uma distância p à direita do vértice, ou seja,
F=(h+p,\;k)=(-2+2,\;3)=(0,3).
– A diretriz é a reta vertical situada a p unidades à esquerda do vértice:
x=h-p=-2-2=-4.

Resposta

Vértice: (-2,3)
Foco: (0,3)
Diretriz: x=-4

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