2 - Determinar o diâmetro de um eixo destinado a transmitir uma potencia de 850 Hp a uma rotação de 2500 rpm , sabendo-se que:
  1. \tau_{\mathrm{adm}}=1070 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} e que a rotação se dá com velocidade angular constante.
  2. O ângulo de torção por unidade de comprimento não deve exceder a 0,0002 \mathrm{rad} / \mathrm{cm}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro de um eixo (eixo maciço, circular) que transmite potência e deve satisfazer duas restrições: resistência à tração cortante admissível e limite de torção por unidade de comprimento. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Potência: P=850\\ \mathrm{Hp}.
  • Rotação: n=2500\\ \mathrm{rpm} (velocidade angular constante).
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\mathrm{adm}}=1070\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
  • Limite do ângulo de torção por unidade de comprimento: \left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)_{\max}=0{,}0002\\ \mathrm{rad/cm}.
O que o problema pede concretamente:
  • Calcular o diâmetro mínimo imposto pela condição de resistência (tensão admissível).
  • Calcular o diâmetro mínimo imposto pela condição de rigidez torsional (ângulo de torção por unidade de comprimento).
  • Adotar o diâmetro final que satisfaça ambas as exigências (ou seja, o maior dos dois).

Passo 2

Converter unidades e obter o torque transmitido a partir da potência e da velocidade angular.
Explicação teórica rápida (fórmula que vamos usar):
  • Potência, torque e velocidade angular estão ligados por P=T\omega, onde:
    • P é a potência (unidades de força·distância/tempo, aqui usaremos \mathrm{Kgf\cdot cm/s}),
    • T é o torque (unidade \mathrm{Kgf\cdot cm}),
    • \omega é a velocidade angular (rad/s).
Conversão de potência: vou usar a conversão métrica usual de potência mecânica:
  • 1\\ \mathrm{Hp} = 75\\ \mathrm{Kgf\cdot m/s}.
    Passando para \mathrm{Kgf\cdot cm/s} multiplica-se por 100 (1 m = 100 cm).
Cálculos:
P = 850\\ \mathrm{Hp} = 850\cdot 75\\ \mathrm{Kgf\cdot m/s} = 63750\\ \mathrm{Kgf\cdot m/s}.
P = 63750\cdot 100\\ \mathrm{Kgf\cdot cm/s} = 6375000\\ \mathrm{Kgf\cdot cm/s}.
Velocidade angular:
\omega = 2\pi\cdot \frac{n}{60} = 2\pi\cdot\frac{2500}{60} = \frac{250\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 261{,}799\\ \mathrm{rad/s}.
Torque:
T=\frac{P}{\omega}=\frac{6375000}{261{,}799}\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}\approx 24343{,}15\\ \mathrm{Kgf\cdot cm}.

Passo 3

Determinar o diâmetro imposto pela condição de tensão máxima admissível.
Teoria (fórmula de tensão de cisalhamento máxima em eixo circular maciço submetido a torque):
  • A tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço é
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Aqui:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (mesma unidade de \tau_{\mathrm{adm}}),
  • T é o torque (unidades de \mathrm{Kgf\cdot cm}),
  • d é o diâmetro do eixo (em \mathrm{cm}).
Derivação rápida (sem pânico): essa fórmula vem de \tau=T\,r/J com r=d/2 e J=\pi d^{4}/32, levando a \tau=16T/(\pi d^{3}).
Impor \tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}} e isolar d:
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}.
Substituindo os valores:
d^{3}=\frac{16\cdot 24343{,}15}{\pi\cdot 1070}.
Calculemos numericamente:
16\cdot 24343{,}15 = 389490{,}4, \qquad \pi\cdot 1070 \approx 3361{,}504.
d^{3}\approx \frac{389490{,}4}{3361{,}504}\approx 115{,}851.
Tomando a raiz cúbica:
d \approx \sqrt[3]{115{,}851}\approx 4{,}876\\ \mathrm{cm}.
Portanto, o diâmetro mínimo pela condição de tensão é aproximadamente 4{,}876\\ \mathrm{cm} (ou 48{,}76\\ \mathrm{mm}).

Passo 4

Determinar o diâmetro imposto pela condição do ângulo de torção por unidade de comprimento.
Teoria (rigidez à torção de um eixo circular maciço):
  • O ângulo de torção por unidade de comprimento (derivada do ângulo ao longo do eixo) é
\frac{d\varphi}{dx}=\frac{T}{G\,J},
onde:
  • G é o módulo de cisalhamento do material (módulo de elasticidade transversal),
  • J é o momento polar de inércia da seção: J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo J,
\frac{d\varphi}{dx}=\frac{32\,T}{G\pi d^{4}}.
Impor \dfrac{d\varphi}{dx}\le 0{,}0002\\ \mathrm{rad/cm}, então:
d^{4}\ge \frac{32\,T}{G\pi\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)_{\max}}.
Precisamos de G. O enunciado não deu o módulo de cisalhamento; normalmente para eixos de aço usamos valores típicos. Vou assumir material aço com:
  • Módulo de Young E\approx 2{,}06\times 10^{6}\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}} (valor padrão em unidades \mathrm{Kgf/cm^{2}}),
  • Coeficiente de Poisson \nu\approx 0{,}30.
Relação entre E e G:
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Substituindo:
G=\frac{2{,}06\times 10^{6}}{2(1{,}30)}=\frac{2{,}06\times 10^{6}}{2{,}6}\approx 808077\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}.
Agora calculamos d da condição de torção:
d^{4}=\frac{32\,T}{G\pi\cdot 0{,}0002}.
Substituindo valores (usando T\approx 24343{,}15\\ \mathrm{Kgf\cdot cm} e G\approx 808077\\ \mathrm{Kgf/cm^{2}}):
32\,T \approx 32\cdot 24343{,}15 = 778980{,}8,
G\pi\cdot 0{,}0002 \approx 808077\cdot\pi\cdot 0{,}0002 \approx 507{,}777.
d^{4}\approx \frac{778980{,}8}{507{,}777}\approx 1533{,}89.
Tomando a raiz quarta:
d\approx (1533{,}89)^{1/4}.
Para calcular a raiz quarta: primeiro \sqrt{1533{,}89}\approx 39{,}151, depois \sqrt{39{,}151}\approx 6{,}258.
Assim
d\approx 6{,}26\\ \mathrm{cm}.
Portanto, o diâmetro mínimo pela condição do ângulo de torção é aproximadamente 6{,}26\\ \mathrm{cm} (ou 62{,}6\\ \mathrm{mm}).

Passo 5

Comparação das duas restrições e escolha final.
  • Diâmetro pelo critério de tensão: d_{\tau}\approx 4{,}876\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro pelo critério de torção (rigidez): d_{\varphi}\approx 6{,}26\\ \mathrm{cm}.
Para satisfazer ambas as condições o diâmetro deve ser o maior dos dois:
d_{\text{adotado}}=\max(d_{\tau},d_{\varphi})=6{,}26\\ \mathrm{cm}.
Em prática de projeto costuma-se arredondar para um diâmetro comercial disponível levemente maior, por exemplo d=6{,}3\\ \mathrm{cm} (63 mm). Mas o resultado numérico mínimo que satisfaz ambas as exigências é 6{,}26\\ \mathrm{cm}.

Resposta

Diâmetro mínimo pela tensão: d_{\tau}\approx 4{,}876\\ \mathrm{cm}
Diâmetro mínimo pela torção (rigidez): d_{\varphi}\approx 6{,}26\\ \mathrm{cm}
Diâmetro adotado (satisfaz ambas): d=6{,}26\\ \mathrm{cm} (aprox. 62{,}6\\ \mathrm{mm}; arredondamento comercial sugerido: 63\\ \mathrm{mm}).

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