2 - Determinar o diâmetro de um eixo destinado a transmitir uma potencia de 850 Hp a uma rotação de 2500 rpm , sabendo-se que:
-
e que a rotação se dá com velocidade angular constante.
- O ângulo de torção por unidade de comprimento não deve exceder a
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o diâmetro de um eixo (eixo maciço, circular) que transmite potência e deve satisfazer duas restrições: resistência à tração cortante admissível e limite de torção por unidade de comprimento. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Potência:
. - Rotação:
(velocidade angular constante). - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Limite do ângulo de torção por unidade de comprimento:
.
O que o problema pede concretamente:
- Calcular o diâmetro mínimo imposto pela condição de resistência (tensão admissível).
- Calcular o diâmetro mínimo imposto pela condição de rigidez torsional (ângulo de torção por unidade de comprimento).
- Adotar o diâmetro final que satisfaça ambas as exigências (ou seja, o maior dos dois).
Passo 2
Converter unidades e obter o torque transmitido a partir da potência e da velocidade angular.
Explicação teórica rápida (fórmula que vamos usar):
- Potência, torque e velocidade angular estão ligados por
, onde: -
é a potência (unidades de força·distância/tempo, aqui usaremos ), -
é o torque (unidade ), -
é a velocidade angular (rad/s).
-
Conversão de potência: vou usar a conversão métrica usual de potência mecânica:
-
.
Passando paramultiplica-se por (1 m = 100 cm).
Cálculos:
Velocidade angular:
Torque:
Passo 3
Determinar o diâmetro imposto pela condição de tensão máxima admissível.
Teoria (fórmula de tensão de cisalhamento máxima em eixo circular maciço submetido a torque):
- A tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço é
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (mesma unidade de ), -
é o torque (unidades de ), -
é o diâmetro do eixo (em ).
Derivação rápida (sem pânico): essa fórmula vem de
com
e
, levando a
.
Impor
e isolar
:
Substituindo os valores:
Calculemos numericamente:
Tomando a raiz cúbica:
Portanto, o diâmetro mínimo pela condição de tensão é aproximadamente
(ou
).
Passo 4
Determinar o diâmetro imposto pela condição do ângulo de torção por unidade de comprimento.
Teoria (rigidez à torção de um eixo circular maciço):
- O ângulo de torção por unidade de comprimento (derivada do ângulo ao longo do eixo) é
onde:
-
é o módulo de cisalhamento do material (módulo de elasticidade transversal), -
é o momento polar de inércia da seção: .
Substituindo
,
Impor
, então:
Precisamos de
. O enunciado não deu o módulo de cisalhamento; normalmente para eixos de aço usamos valores típicos. Vou assumir material aço com:
- Módulo de Young
(valor padrão em unidades ), - Coeficiente de Poisson
.
Relação entre
e
:
Substituindo:
Agora calculamos
da condição de torção:
Substituindo valores (usando
e
):
Tomando a raiz quarta:
Para calcular a raiz quarta: primeiro
, depois
.
Assim
Assim
Portanto, o diâmetro mínimo pela condição do ângulo de torção é aproximadamente
(ou
).
Passo 5
Comparação das duas restrições e escolha final.
- Diâmetro pelo critério de tensão:
. - Diâmetro pelo critério de torção (rigidez):
.
Para satisfazer ambas as condições o diâmetro deve ser o maior dos dois:
Em prática de projeto costuma-se arredondar para um diâmetro comercial disponível levemente maior, por exemplo
(63 mm). Mas o resultado numérico mínimo que satisfaz ambas as exigências é
.
Resposta
Diâmetro mínimo pela tensão:
Diâmetro mínimo pela torção (rigidez):
Diâmetro adotado (satisfaz ambas): (aprox.
; arredondamento comercial sugerido:
).
Diâmetro mínimo pela torção (rigidez):
Diâmetro adotado (satisfaz ambas):