Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
 
Passo 1
O enunciado pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial 
  formado por matrizes 
  onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos elementos da diagonal secundária, ou seja, 
 . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o espaço 
 . Temos matrizes da forma:
com a condição 
 . Isso significa que podemos expressar uma das variáveis em função das outras.
Passo 3
Vamos resolver a equação 
  para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar 
 :
Isso nos permite reescrever a matriz em termos de 
 , 
  e 
 :
Passo 4
Agora, observamos que as matrizes em 
  são determinadas pelos valores livres de 
 , 
  e 
 . Isso significa que 
  é um subespaço de 
  com 3 dimensões, já que temos três parâmetros livres.
Passo 5
Para encontrar uma base para 
 , vamos expressar a matriz geral como combinação linear de três matrizes independentes. Podemos escrever:
As três matrizes usadas aqui são:
Essas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para 
 .
Resposta
A dimensão do espaço vetorial 
  é 3 e uma base para 
  é composta pelas matrizes: