Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
contém as retas r: \frac{x}{2}=y+1=z+3 e s: \frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que contém simultaneamente as retas \displaystyle r:\frac{x}{2}=y+1=z+3 e \displaystyle s:\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, em particular como achar a equação de um plano a partir de duas direções (você usa o produto vetorial para achar a normal) e um ponto.
Passo 2
Vamos colocar cada reta em forma paramétrica para extrair um ponto e o vetor diretor.
Para r definimos \displaystyle x/2=y+1=z+3=t. Daí
x=2t,\quad y=t-1,\quad z=t-3
Logo um ponto em r é P_0=(0,-1,-3) (tomando t=0) e o vetor diretor é
\mathbf v=(2,1,1).
Passo 3
Para s definimos \displaystyle (x+1)/4=(y-2)/2=(z/2)=u. Daí
x=4u-1,\quad y=2u+2,\quad z=2u
Logo um ponto em s é Q_0=(-1,2,0) (tomando u=0) e o vetor diretor é
\mathbf w=(4,2,2).
Passo 4
Observamos que \mathbf w=2\mathbf v, ou seja, as retas são paralelas. Sendo paralelas e distintas (pois Q_0 não pertence a r), elas determinam um único plano. Para achar a normal \mathbf n desse plano, primeiro usamos o vetor entre pontos de uma reta à outra: