Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
contém as retas r: \frac{x}{2}=y+1=z+3 e s: \frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém simultaneamente as retas \displaystyle r:\frac{x}{2}=y+1=z+3 e \displaystyle s:\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, em particular como achar a equação de um plano a partir de duas direções (você usa o produto vetorial para achar a normal) e um ponto.

Passo 2

Vamos colocar cada reta em forma paramétrica para extrair um ponto e o vetor diretor.
Para r definimos \displaystyle x/2=y+1=z+3=t. Daí
x=2t,\quad y=t-1,\quad z=t-3
Logo um ponto em r é P_0=(0,-1,-3) (tomando t=0) e o vetor diretor é
\mathbf v=(2,1,1).

Passo 3

Para s definimos \displaystyle (x+1)/4=(y-2)/2=(z/2)=u. Daí
x=4u-1,\quad y=2u+2,\quad z=2u
Logo um ponto em s é Q_0=(-1,2,0) (tomando u=0) e o vetor diretor é
\mathbf w=(4,2,2).

Passo 4

Observamos que \mathbf w=2\mathbf v, ou seja, as retas são paralelas. Sendo paralelas e distintas (pois Q_0 não pertence a r), elas determinam um único plano. Para achar a normal \mathbf n desse plano, primeiro usamos o vetor entre pontos de uma reta à outra:
\overrightarrow{P_0Q_0}=Q_0-P_0=(-1,2,0)-(0,-1,-3)=(-1,3,3).

Passo 5

A normal do plano é dada por
\mathbf n=\mathbf v\times\overrightarrow{P_0Q_0} =(2,1,1)\times(-1,3,3).
Calculando o produto vetorial:
\mathbf n =\bigl(1\cdot3-1\cdot3,\,-\bigl(2\cdot3-1\cdot(-1)\bigr),\,2\cdot3-1\cdot(-1)\bigr) =(0,\,-7,7).
Podemos simplificar para \mathbf n=(0,-1,1).

Passo 6

A equação do plano usando ponto P_0=(0,-1,-3) e normal \mathbf n=(0,-1,1) é
0\,(x-0)-1\,(y+1)+1\,(z+3)=0,
isto é
-(y+1)+(z+3)=0 \quad\Longrightarrow\quad z - y +2 = 0.

Resposta

A equação geral do plano que contém r e s é
z - y + 2 = 0.

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