Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função no ponto . Isso envolve Cálculo Diferencial e, mais especificamente, o estudo de superfícies e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função para achar o plano tangente e a direção da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Segundo, a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Agora podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Simplificando:
Reorganizando:
Passo 7
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos saber que a direção da normal é dada pelo vetor gradiente de no ponto, que é (já que ).
No nosso caso:
Passo 8
A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor normal. Então:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: