Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em (x0, y0).
k) z = 1 / raiz(x^2 + y^2) e m(1, 1, raiz(2)/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função no ponto . Isso envolve Cálculo Diferencial e, mais especificamente, o estudo de superfícies e planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função para achar o plano tangente e a direção da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Segundo, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Agora podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação do plano tangente:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Simplificando:
Reorganizando:

Passo 7

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos saber que a direção da normal é dada pelo vetor gradiente de no ponto, que é (já que ).
No nosso caso:

Passo 8

A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor normal. Então:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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