Determinar a equação polar da circunferência de centro no ponto
e que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação polar de uma circunferência que tem o centro no ponto
e passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e equações de circunferência nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma circunferência no sistema de coordenadas polares. A fórmula é:
onde:
-
é a distância do centro da circunferência à origem, -
é o ângulo que o raio que liga a origem ao centro faz com o eixo polar.
No nosso caso, o centro
está nas coordenadas
, então
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o raio da circunferência. Sabemos que a circunferência passa pelo ponto
. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no sistema polar para encontrar o raio.
A distância
entre
e
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Sabemos que
, então:
Portanto, o raio da circunferência é
.
Passo 5
Agora que temos o raio, podemos escrever a equação da circunferência em coordenadas polares. A fórmula que usamos inicialmente já considera o centro
e o raio
. Porém, pela definição da circunferência, a equação fica mais geral:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Essa é a equação polar da circunferência que estamos procurando.
Resposta
A equação polar da circunferência é: