Determinar a equação polar da circunferência de centro no ponto C(8, pi3) e que passa pelo ponto P(4, 2 pi3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação polar de uma circunferência que tem o centro no ponto e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e equações de circunferência nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma circunferência no sistema de coordenadas polares. A fórmula é:
r = 2R cos(theta - alpha)
onde:
  • é a distância do centro da circunferência à origem,
  • é o ângulo que o raio que liga a origem ao centro faz com o eixo polar.
No nosso caso, o centro está nas coordenadas , então e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o raio da circunferência. Sabemos que a circunferência passa pelo ponto d = raizr1^2 + r2^2 - 2 r1 r2 cos(theta2 - theta1) . Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no sistema polar para encontrar o raio.
A distância d = raiz8^2 + 4^2 - 2 cdot 8 cdot 4 cdot cos(2pi3 - pi3) entre e é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
d = raiz64 + 16 - 64 cos(pi3)
Sabemos que d = raiz64 + 16 - 64 cdot 12 = raiz80 - 32 = raiz48 = 4raiz3 , então:
Portanto, o raio da circunferência é .

Passo 5

Agora que temos o raio, podemos escrever a equação da circunferência em coordenadas polares. A fórmula que usamos inicialmente já considera o centro r^2 - 2R r cos(theta - alpha) + R^2 = rraio^2 e o raio r^2 - 2 cdot 8 cdot r cos(theta - pi3) + 64 = 48 . Porém, pela definição da circunferência, a equação fica mais geral:
Substituindo , e :

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
r^2 - 16 r cos(theta - pi3) + 64 - 48 = 0
r^2 - 16 r cos(theta - pi3) + 16 = 0
Essa é a equação polar da circunferência que estamos procurando.

Resposta

A equação polar da circunferência é:
r^2 - 16 r cos(theta - pi3) + 16 = 0

Exercícios relacionados