Determinar o grau de compacidade de um solo, dadas as seguintes informações:
  • Solo no estado natural: volume de 590 cm³ e massa de 1033 g;
  • Solo seco no estado solto: volume de 699 cm³ e massa de 870 g;
  • Solo seco no estado compacto: volume de 487 cm³ e massa de 870 g.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o grau de compacidade (ou grau de compactação) do solo, dados três estados com volumes e massas. Os dados fornecidos são:
  • Solo no estado natural: volume V_{\rm nat}=590\\ \text{cm}^3 e massa total M_{\rm nat}=1033\\ \text{g}.
  • Solo seco no estado solto: volume V_{\rm solto}=699\\ \text{cm}^3 e massa seca M_{\rm s}=870\\ \text{g}.
  • Solo seco no estado compacto: volume V_{\rm compacto}=487\\ \text{cm}^3 e massa seca M_{\rm s}=870\\ \text{g}.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A massa seca do solo é M_{\rm s}=870\\ \text{g} (mesma para os estados seco solto e seco compacto).
  • No estado natural a massa informada M_{\rm nat}=1033\\ \text{g} inclui água; a massa seca do mesmo ensaio é 870\\ \text{g}.
O que se pede: o “grau de compacidade” do solo. A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Em solos granulares o “grau de compacidade” geralmente é entendido como densidade relativa (relative density) D_r, que mede quão próximo o solo natural está do estado mais compacto possível, em comparação com o estado mais solto possível.
  • A definição clássica é, em termos de índices de vazios e:
D_r=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}},
onde e_{\max} é o índice de vazios no estado mais solto, e_{\min} no estado mais compacto e e no estado natural. Aqui:
  • e é o volume de vazios dividido pelo volume de sólidos.
  • Para um mesmo volume de sólidos V_s (mesma massa seca), o índice de vazios pode ser escrito como
e=\frac{V}{V_s}-1,
pois V=V_s+V_{\rm vazios} e e=V_{\rm vazios}/V_s=V/V_s-1.
Importante — simplificação que facilita muito os cálculos:
  • Como a massa seca M_{\rm s} é a mesma nas três condições, o volume de sólidos V_s é o mesmo para os três estados. Substituindo na fórmula de D_r os e escritos em função dos volumes totais, o termo V_s cancela e obtemos uma expressão em termos apenas dos volumes totais:
D_r=\frac{V_{\max}-V}{V_{\max}-V_{\min}},
onde V_{\max} é o volume no estado solto, V_{\min} o volume no estado compacto e V o volume no estado natural. Esta é uma forma muito prática quando a mesma massa seca é usada nos três ensaios — como é o caso aqui.
Explicando cada variável:
  • V_{\max}=V_{\rm solto}=699\\ \text{cm}^3 (volume mais aberto, maior índice de vazios).
  • V_{\min}=V_{\rm compacto}=487\\ \text{cm}^3 (volume mais denso, menor índice de vazios).
  • V=V_{\rm nat}=590\\ \text{cm}^3 (volume do solo natural).

Passo 3

Cálculo preliminar útil: teor de água (apenas para entendimento do estado natural)
  • Massa da água no estado natural:
M_{\rm água}=M_{\rm nat}-M_{\rm s}=1033-870=163\\ \text{g}.á
  • Teor de água w (razão massa de água / massa seca):
w=\frac{M_{\rm água}}{M_{\rm s}}=\frac{163}{870}\approx0{,}18736\quad\text{ou}\quad 18{,}74\%.á
Esse cálculo mostra que o solo natural contém aproximadamente 18{,}74\% de água — informação didática, não estritamente necessária para D_r, mas ajuda a entender os estados.

Passo 4

Cálculo das densidades secas (didático — mostra relações úteis)
  • Densidade seca é \rho_d=M_{\rm s}/V.
  • Estado natural:
\rho_{d,{\rm nat}}=\frac{870}{590}\approx1{,}4746\\ \text{g/cm}^3.
  • Estado solto:
\rho_{d,{\rm solto}}=\frac{870}{699}\approx1{,}2446\\ \text{g/cm}^3.
  • Estado compacto:
\rho_{d,{\rm compacto}}=\frac{870}{487}\approx1{,}7864\\ \text{g/cm}^3.
Esses valores ajudam a intuir que o estado compacto tem a maior densidade seca (mais denso) e o estado solto a menor.

Passo 5

Aplicando a fórmula do grau de compacidade usando volumes (passo chave):
  • Substituindo na expressão
D_r=\frac{V_{\max}-V}{V_{\max}-V_{\min}}
os valores V_{\max}=699\\ \text{cm}^3, V=590\\ \text{cm}^3 e V_{\min}=487\\ \text{cm}^3, obtemos:
D_r=\frac{699-590}{699-487}=\frac{109}{212}.
  • Fazendo a divisão:
D_r=\frac{109}{212}\approx0{,}51415\approx51{,}415\%.
Interpretação rápida: o solo natural está, em termos de compacidade relativa entre os extremos solto e compacto, com cerca de 51{,}4\% do caminho entre o estado mais solto e o mais compacto. Em provas convém apresentar o resultado em porcentagem com uma casa decimal ou duas conforme pedido.

Resposta

51{,}4\%

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