Determinar a massa específica dos sólidos, dadas as seguintes informações:
  • Massa do balão volumétrico com água =436,18 g;
  • Massa do balão volumétrico com 30 g de solo e água até o mesmo nível =455,07 g.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (estou listando exatamente os valores fornecidos):
  • Massa do balão volumétrico com água até o nível indicado: m_1 = 436,18\\ \mathrm{g}.
  • Massa do balão volumétrico com 30\\ \mathrm{g} de solo e água até o mesmo nível: m_2 = 455,07\\ \mathrm{g}.
    O que se pede: determinar a massa específica (densidade) dos sólidos do solo, ou seja \rho_s (unidade usual \mathrm{g\\ cm^{-3}}).

Passo 2

Entender o princípio físico usado (explicação didática):
  • O balão contém sempre o mesmo volume total quando está até o mesmo nível. Quando se adiciona massa de sólidos (o solo) e se completa com água até o mesmo nível, parte do volume que antes era ocupado por água passa a ser ocupado pelos sólidos. Assim, a massa total muda devida à massa dos sólidos adicionados e à diferença da massa de água presente antes e depois.
  • Definimos as variáveis:
    • m_1: massa do balão + água (antes de adicionar o solo).
    • m_2: massa do balão + solo + água (após adicionar o solo e completar até o mesmo nível).
    • m_s: massa dos sólidos adicionados; aqui m_s = 30\\ \mathrm{g}.
    • \rho_w: massa específica da água (usualmente \rho_w \approx 1,00\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}); vou assumir \rho_w = 1,00\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} pois nenhuma temperatura foi dada.
    • V_s: volume ocupado pelos sólidos.
    • \rho_s: massa específica dos sólidos (o que queremos).

Passo 3

Montar a equação que relaciona as massas (dedução passo a passo):
  • Antes: massa total era m_1 = m_{\text{balão}} + m_{w}ã, onde m_{w} é a massa da água inicial.
  • Depois: massa total é m_2 = m_{\text{balão}} + m_s + m_{w}'ã, onde m_{w}' é a massa de água depois de colocar os sólidos e completar ao mesmo nível.
  • Como o volume total ficou igual, a água teve sua massa reduzida do valor m_{w} para m_{w}' porque parte do volume agora é ocupado pelos sólidos; a massa de água deslocada é exatamente \rho_w V_s. Portanto m_{w}' = m_{w} - \rho_w V_s.
  • Substituindo em m_2: m_2 = m_{\text{balão}} + m_s + (m_{w} - \rho_w V_s) = (m_{\text{balão}} + m_{w}) + m_s - \rho_w V_s.ãã
  • Como m_1 = m_{\text{balão}} + m_{w}ã, temos m_2 - m_1 = m_s - \rho_w V_s.
  • Isolando V_s: \rho_w V_s = m_s - (m_2 - m_1).
  • O que nos interessa é \rho_s = \dfrac{m_s}{V_s}. Substituindo V_s obtemos (fazendo álgebra para ficar explícito): V_s = \dfrac{m_s - (m_2 - m_1)}{\rho_w}, \qquad \rho_s = \dfrac{m_s}{V_s} = \dfrac{m_s}{\dfrac{m_s - (m_2 - m_1)}{\rho_w}} = \dfrac{m_s\,\rho_w}{m_s - (m_2 - m_1)}.
  • Se tomarmos \rho_w = 1,00\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} (assunção comum), a fórmula simplifica para \rho_s = \dfrac{m_s}{m_s - (m_2 - m_1)}.

Passo 4

Calcular a diferença de massas e aplicar a fórmula (contas passo a passo):
  • Primeiro calcule m_2 - m_1: m_2 - m_1 = 455,07 - 436,18 = 18,89\\ \mathrm{g}.
  • Agora calcule o denominador m_s - (m_2 - m_1): m_s - (m_2 - m_1) = 30,00 - 18,89 = 11,11\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Calcular \rho_s numericamente:
  • Usando \rho_w = 1,00\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} e a fórmula simplificada, \rho_s = \dfrac{m_s}{m_s - (m_2 - m_1)} = \dfrac{30,00}{11,11}.
  • Fazer a divisão: \dfrac{30,00}{11,11} \approx 2,70\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
(Observação: a conta dá exatamente 2,70027\ldots, arredondei para duas casas decimais comuns para densidades de partículas.)

Passo 6

Interpretação final e observações práticas:
  • A massa específica encontrada é \rho_s \approx 2,70\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}, valor típico de materiais minerais (por exemplo, sílica/quartzo tem \sim 2,65\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}).
  • Aviso prático: se a temperatura da água for muito diferente de 4^\circ\mathrm{C} a densidade real da água muda um pouco; isso provoca alteração muito pequena no resultado, mas em trabalhos de precisão deve-se usar \rho_w corrigida pela temperatura.

Resposta

\rho_s = 2,70\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}

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