Determinar P=(a, b) colinear simultaneamente com A=(-1,-2) e B=(2,1) e com C=(-2,1) e D=(1,-4).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um ponto que seja colinear, ou seja, esteja na mesma linha, tanto com os pontos e , quanto com os pontos e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar as equações das linhas que passam por e , e por e , e então encontrar onde essas duas linhas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da linha que passa pelos pontos m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = 1 - (-2)2 - (-1) = 33 = 1 . Para isso, precisamos calcular a inclinação (coeficiente angular) dessa linha. A inclinação y = mx + c entre dois pontos -2 = 1 cdot (-1) + c Rightarrow -2 = -1 + c Rightarrow c = -1 e y = x - 1 é dada por:
Aplicando os valores de e :
Agora que temos a inclinação, usamos a forma da equação da reta:
Sabemos que a reta passa pelo ponto , então substituímos para encontrar :
Portanto, a equação da reta AB é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da linha que passa pelos pontos mCD = -4 - 11 - (-2) = -53 e y = -53x + c . Novamente, calculamos a inclinação:
1 = -53 cdot (-2) + c Rightarrow 1 = 103 + c Rightarrow c = 1 - 103 = -73
Com a inclinação y = -53x - 73 , usamos a forma da equação da reta:
Sabendo que a reta passa pelo ponto :
Portanto, a equação da reta CD é:

Passo 4

Agora que temos as equações das duas retas, podemos encontrar o ponto y = x - 1 y = -53x - 73 onde elas se encontram, resolvendo o sistema de equações:
x - 1 = -53x - 73
Como ambas as expressões são iguais a 3(x - 1) = 3(-53x - 73) Rightarrow 3x - 3 = -5x - 7 , podemos igualá-las:
3x + 5x = -7 + 3 Rightarrow 8x = -4 Rightarrow x = -48 = -12
Para resolver essa equação, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 3:
y = -12 - 1 = -32
Agora, vamos juntar os termos com de um lado e os constantes do outro:
Substituindo na primeira equação :

Resposta

O ponto que satisfaz as condições da questão é .

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