Determinar o polinômio de Taylor de ordem n no ponto c dado, das seguintes funções:
f(x)=e^{x / 2}, c=0 e n=5.

Passo 1

O enunciado pede o polinómio de Taylor de ordem n=5 centrado em c=0 (Maclaurin) para
f(x)=e^{x/2}.
O conteúdo é série de Taylor: vamos precisar da fórmula geral do polinómio e das derivadas de f em 0.

Passo 2

A fórmula do polinómio de Taylor de ordem n em torno de c é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}(x-c)^k.
Aqui c=0, então fica
P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(x)=e^{x/2}. Note que
f'(x)=\tfrac12e^{x/2},\quad f''(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^2e^{x/2},\;\dots,\; f^{(k)}(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^k e^{x/2}.
Em particular, em x=0 temos
f^{(k)}(0)=\bigl(\tfrac12\bigr)^k.

Passo 4

Substituindo em P_5(x):
P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{(1/2)^k}{k!}\,x^k.

Passo 5

Basta simplificar cada termo:
k =0: \displaystyle\frac{(1/2)^0}{0!}x^0=1
k =1: \displaystyle\frac{1/2}{1!}x=\tfrac12\,x
k =2: \displaystyle\frac{(1/2)^2}{2!}x^2=\frac{1/4}{2}x^2=\tfrac18\,x^2
k =3: \displaystyle\frac{(1/2)^3}{3!}x^3=\frac{1/8}{6}x^3=\tfrac1{48}\,x^3
k =4: \displaystyle\frac{(1/2)^4}{4!}x^4=\frac{1/16}{24}x^4=\tfrac1{384}\,x^4
k =5: \displaystyle\frac{(1/2)^5}{5!}x^5=\frac{1/32}{120}x^5=\tfrac1{3840}\,x^5

Resposta

P_5(x)=1+\tfrac12\,x+\tfrac18\,x^2+\tfrac1{48}\,x^3+\tfrac1{384}\,x^4+\tfrac1{3840}\,x^5.

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