Determinar o ponto simétrico de \mathbf{P}=(1,2,-1)
em relação ao plano 2 x-y+z-1=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ponto simétrico de \mathbf{P}=(1,2,-1) em relação ao plano
2x - y + z - 1 = 0.
O conteúdo é reflexão de ponto em plano, e vamos usar a fórmula do pé da perpendicular seguido de
\mathbf{Q} = 2\,\mathbf{H} - \mathbf{P},
onde \mathbf{H} é o pé da perpendicular de \mathbf{P} no plano.

Passo 2

Identificamos os coeficientes do plano:
a=2,\quad b=-1,\quad c=1,\quad d=-1.
Em seguida calculamos
N = a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 2\cdot1 +(-1)\cdot2 +1\cdot(-1) -1 = -2,
D = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 6.

Passo 3

O parâmetro que surge na fórmula do pé da perpendicular é
\frac{N}{D} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

O pé da perpendicular \mathbf{H} é
\mathbf{H} = \mathbf{P} - \frac{N}{D}\,(a,b,c).
Substituindo os valores,
\mathbf{H} = (1,2,-1) - \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)\,(2,-1,1) = \bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 5

O ponto simétrico \mathbf{Q} em relação ao plano é
\mathbf{Q} = 2\,\mathbf{H} - \mathbf{P} = 2\bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr) - (1,2,-1) = \bigl(\tfrac{7}{3},\,\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{1}{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \bigl(\tfrac{7}{3},\tfrac{4}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr)

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