Determinar os pontos criticos da funçåo
, classificando-os, quando possivel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e depois classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos
:
Em seguida, resolvemos
:
Isso nos dá
ou
, então
,
, ou
.
Passo 4
Agora, juntamos os valores de
e
encontrados para obter os pontos críticos:
Passo 5
Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Ponto (-2, 0):
Como
, o teste é inconclusivo.
- Ponto (-2, 1):
Além disso,
, o que indica um mínimo local.
- Ponto (-2, -1):
Como
, o ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
— teste inconclusivo -
— mínimo local -
— ponto de sela