Determinar os pontos criticos da funçåo z = x^4 + 1/5 y^5 + 32 x - 1/3 y^3 + 15, classificando-os, quando possivel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos encontrar os pontos críticos dessa função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e depois classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos :
Em seguida, resolvemos :
Isso nos dá ou , então , , ou .

Passo 4

Agora, juntamos os valores de e encontrados para obter os pontos críticos:

Passo 5

Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto (-2, 0):
Como , o teste é inconclusivo.
  1. Ponto (-2, 1):
Além disso, , o que indica um mínimo local.
  1. Ponto (-2, -1):
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • — teste inconclusivo
  • — mínimo local
  • — ponto de sela

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