Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
g(x)=x^{2} \cdot \operatorname{sen}(x),[-\pi, \pi]
g(x)=x^{2} \cdot \operatorname{sen}(x),[-\pi, \pi]
Passo 1
O enunciado pede os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade para a função
no domínio
. Para isso precisamos calcular a segunda derivada
, resolver
para encontrar candidatos a inflexão e depois estudar o sinal de
em cada intervalo.
Passo 2
Derivamos uma vez usando a regra do produto em
:
Passo 3
Agora derivamos
para obter a segunda derivada. Derivando termo a termo:
– de vem
,
– de vem
.
Somando,
– de
– de
Somando,
Passo 4
Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
Note que
é solução imediata. As outras duas surgem simetricamente em
com
. Numericamente encontramos
portanto as soluções em
são
,
e
.
Passo 5
Para determinar os sinais de
entre esses pontos, fazemos um breve esboço:
– em , por exemplo em
, calcula-se
;
– em , por exemplo em
, obtém-se
;
– em , por exemplo em
, obtém-se
;
– em , por exemplo em
, obtém-se
.
– em
– em
– em
– em
Logo
– concavidade voltada para cima em e
,
– concavidade voltada para baixo em e
.
– concavidade voltada para cima em
– concavidade voltada para baixo em
Passo 6
Calculamos também os valores de
nos pontos de inflexão:
Resposta
Pontos de inflexão:
,
e
.
Concavidade para cima em
concavidade para baixo em