Determinar os pontos da reta \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2} que tem cota 1

Passo 1

O enunciado dá a reta na forma simétrica
\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2},
e pede os pontos dessa reta cuja cota é 1. Aqui “cota” significa a coordenada z. Portanto a pergunta é: quais pontos da reta têm \,z=1?
Informações relevantes: o enunciado fornece uma reta em \mathbb{R}^3 na forma simétrica e solicita o(s) ponto(s) sobre essa reta com \,z=1.

Passo 2

Vamos transformar a forma simétrica em equações paramétricas — isso facilita resolver a condição sobre z. A forma simétrica
\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}
significa que existe um parâmetro comum, que chamo de t, tal que
\frac{x-3}{2}=t,\qquad \frac{y+1}{-1}=t,\qquad \frac{z}{-2}=t.
Explicando devagar: tomar um único número t e igualar cada fração a ele garante que todas as três coordenadas pertencem à mesma posição na reta. Agora resolvo cada uma para x,y,z em função de t:
x=3+2t,
y=-1-1\cdot t=-1-t,
z=-2t.
Essas são as equações paramétricas da reta: para cada t obtemos um ponto \bigl(3+2t,\,-1-t,\,-2t\bigr).

Passo 3

Agora aplico a condição pedida: queremos pontos com \,z=1. Pela equação paramétrica temos
z=-2t.
Igualando à cota solicitada:
-2t=1.
Vou resolver essa equação para t. Dividindo ambos os lados por -2:
t=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
Expliquei: dividir por -2 é o mesmo que multiplicar por -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Com t=-\tfrac{1}{2} vou calcular x e y usando as equações paramétricas. Primeiro x:
x=3+2t=3+2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=3-1=2.
Agora y:
y=-1-t=-1-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-1+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
E já verificamos z:
z=-2t=-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=1,
que é a cota pedida. Então o ponto obtido é \bigl(2,\,-\tfrac{1}{2},\,1\bigr).

Passo 5

Interpretação final e comentário curto: uma reta em \mathbb{R}^3 e o plano horizontal \,z=1 normalmente se interceptam em um único ponto, a menos que a reta seja paralela ao plano (o que ocorreria se sua componente em z fosse constante diferente de 1). Aqui a componente em z depende de t, por isso há exatamente um ponto de interseção, que acabamos de encontrar.

Resposta

\,(2,\,-\tfrac{1}{2},\,1)