Determinar a pressão total do sistema termodinâmico (em mmHg), as pressões parciais (em mmHg), as composições em fase líquida e em fase vapor para os seguintes componentes inicialmente em fase líquida:
58 kg de etanol, 38 kg de metanol e 28 kg de acetato de metila a 75^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede, para o sistema inicialmente todo em fase líquida com as massas dadas, equilibrado a 75^\circ\mathrm{C}:
  • a pressão total do sistema (em \mathrm{mmHg});
  • as pressões parciais de cada componente (em \mathrm{mmHg});
  • as composições em fase líquida (frações molares líquidas x_i);
  • as composições em fase vapor (frações molares vapor y_i).
Os dados fornecidos são:
  • massa de etanol: 58\\ \mathrm{kg},
  • massa de metanol: 38\\ \mathrm{kg},
  • massa de acetato de metila: 28\\ \mathrm{kg},
  • temperatura do equilíbrio: 75^\circ\mathrm{C}.
Não foram fornecidos dados de pressão de vapor puro, portanto serão usados métodos padrão para obtê‑los: equação de Antoine (para metanol e etanol) e estimativa por Clausius–Clapeyron (para acetato de metila) quando necessário — isso será explicado e mostrado nos passos seguintes.

Passo 2

Converter massas em mols (precisamos das frações molares líquidas). As massas molares adotadas (valores usuais):
  • metanol: M_{\text{met}}=32,04\\ \mathrm{g\,mol^{-1}},
  • etanol: M_{\text{et}}=46,07\\ \mathrm{g\,mol^{-1}},
  • acetato de metila: M_{\text{ma}}=74,08\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
Calcula‑se n = \dfrac{\text{massa (g)}}{M}. Convertendo kg para g:
n_{\text{et}}=\frac{58\,000}{46,07}=1\,258,95\\ \text{mol}
n_{\text{met}}=\frac{38\,000}{32,04}=1\,186,02\\ \text{mol}
n_{\text{ma}}=\frac{28\,000}{74,08}=378,24\\ \text{mol}
Soma total de mols:
n_{\text{tot}}=1\,258,95+1\,186,02+378,24=2\,823,21\\ \text{mol}
Explicação breve (para a prova): sempre converte massa para mols usando n=\dfrac{m}{M}, porque equações de equilíbrio de fase (Raoult etc.) trabalham com frações molares.

Passo 3

Calcular frações molares em fase líquida x_i:
x_i=\frac{n_i}{n_{\text{tot}}}
Aplicando:
x_{\text{et}}=\frac{1\,258,95}{2\,823,21}=0,4460
x_{\text{met}}=\frac{1\,186,02}{2\,823,21}=0,4201
x_{\text{ma}}=\frac{378,24}{2\,823,21}=0,1339
Interpretação didática: x_i é a fração molar do componente i na fase líquida; soma das x_i deve ser 1 (verificação: 0,4460+0,4201+0,1339\approx1).

Passo 4

Determinar as pressões de vapor saturado puras P_i^{\text{sat}}(T=75^\circ\mathrm{C}).
  1. Explicação das ferramentas:
  • Equação de Antoine (forma usada): \log_{10}P^{\text{sat}}=A-\dfrac{B}{T+C}, com P^{\text{sat}} em \mathrm{mmHg} e T em ^\circ\mathrm{C}. Os parâmetros A,B,C são tabelados por substância.
  • Quando não se tem parâmetros Antoine ou para checar, pode‑se usar a forma de Clausius–Clapeyron aproximada:
\ln\frac{P_2}{P_1}=-\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right),
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, temperaturas em K, e \Delta H_{\text{vap}} em J/mol.
  1. Valores usados e cálculo:
  • Metanol: parâmetro Antoine (tabela padrão) A=8,0724,\quad B=1\,582,271,\quad C=239,726Em T=75^\circ\mathrm{C} temos \log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{met}}=8,0724-\frac{1\,582,271}{75+239,726}=3,04347
P^{\text{sat}}_{\text{met}}=10^{3,04347}=1\,106,9\\ \mathrm{mmHg}
  • Etanol: parâmetro Antoine (tabela padrão) A=8,20417,\quad B=1\,642,89,\quad C=230,3
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{et}}=8,20417-\frac{1\,642,89}{75+230,3}=2,82217
P^{\text{sat}}_{\text{et}}=10^{2,82217}=665,0\\ \mathrm{mmHg}
  • Acetato de metila: como parâmetros Antoine exatos não foram fornecidos aqui, usei uma estimativa via Clausius–Clapeyron a partir do ponto de ebulição normal T_1=56{,}9^\circ\mathrm{C} (onde P_1=760\\ \mathrm{mmHg}) e assumindo um valor típico de \Delta H_{\text{vap}}\approx33{,}000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (valor plausível para ésteres leves). Procedimento:
    Converta temperaturas para kelvin:
    T_1=56{,}9^\circ\mathrm{C}=330{,}05\\ \mathrm{K},\qquad T_2=75^\circ\mathrm{C}=348{,}15\\ \mathrm{K}.
    Aplica‑se
    \ln\frac{P^{\text{sat}}_{\text{ma}}(T_2)}{760}=-\frac{33{,}000}{8{,}314}\left(\frac{1}{348{,}15}-\frac{1}{330{,}05}\right)=0,6273
P^{\text{sat}}_{\text{ma}}(75^\circ\mathrm{C})=760\,e^{0,6273}=1\,423,0\\ \mathrm{mmHg}
Observação didática: usar Clausius–Clapeyron com \Delta H_{\text{vap}} aproximada é aceitável quando não há Antoine tabulado; isso introduz alguma incerteza, mas dá estimativa razoável. Se na prova houver tabelas de Antoine, use aquelas para maior precisão.

Passo 5

Aplicar a lei de Raoult (assumindo solução ideal): a pressão parcial do componente i é
p_i=x_i\,P_i^{\text{sat}}(T).
Calculando:
p_{\text{et}}=x_{\text{et}}\,P^{\text{sat}}_{\text{et}}=0,4460\cdot665,0=296,6\\ \mathrm{mmHg}
p_{\text{met}}=x_{\text{met}}\,P^{\text{sat}}_{\text{met}}=0,4201\cdot1\,106,9=464,7\\ \mathrm{mmHg}
p_{\text{ma}}=x_{\text{ma}}\,P^{\text{sat}}_{\text{ma}}=0,1339\cdot1\,423,0=190,6\\ \mathrm{mmHg}
Explicação: Raoult diz que cada componente “puxa” uma pressão parcial proporcional à sua fração molar líquida e à sua tendência a vaporizar (Psat).

Passo 6

Pressão total é soma das pressões parciais (Lei das pressões parciais):
P_{\text{total}}=\sum_i p_i=296,6+464,7+190,6=951,8\\ \mathrm{mmHg}.
Comentário curto: esse total é menor que a soma das Psat (óbvio, porque cada p_i é reduzido pelo fator x_i). Se o total ficasse maior que limites experimentais, seria sinal de comportamento não ideal ou de erro nos dados.

Passo 7

Composições na fase vapor (frações molares vapor y_i): pela definição,
y_i=\frac{p_i}{P_{\text{total}}}.
Calculando:
y_{\text{et}}=\frac{296,6}{951,8}=0,3116
y_{\text{met}}=\frac{464,7}{951,8}=0,4882
y_{\text{ma}}=\frac{190,6}{951,8}=0,2002
Interpretação didática: componentes mais voláteis (maior P^{\text{sat}}) tendem a ficar mais concentrados na fase vapor do que na fase líquida — aqui o metanol domina no vapor ( y_{\text{met}}>x_{\text{met}}).

Passo 8

Verificações rápidas:
  • Somatório das x_i: 0,4460+0,4201+0,1339=1,0000 (ok).
  • Somatório das y_i: 0,3116+0,4882+0,2002=1,0000 (ok).
  • Unidades: todas as pressões em \mathrm{mmHg}.

Resposta

P_{\text{total}}=951,8\\ \mathrm{mmHg}
p_{\text{etanol}}=296,6\\ \mathrm{mmHg},\\ p_{\text{metanol}}=464,7\\ \mathrm{mmHg},\\ p_{\text{acetato\\ de\\ metila}}=190,6\\ \mathrm{mmHg}
Composição (fase líquida): x_{\text{etanol}}=0,4460,\\ x_{\text{metanol}}=0,4201,\\ x_{\text{acetato\\ de\\ metila}}=0,1339
Composição (fase vapor): y_{\text{etanol}}=0,3116,\\ y_{\text{metanol}}=0,4882,\\ y_{\text{acetato\\ de\\ metila}}=0,2002

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