Determinar a série de Fourier do seno de 
 . Construir o prolongamento periódico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a série de Fourier para a função 
  no intervalo 
  e depois construir o prolongamento periódico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos, já que a função é definida em um intervalo finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar uma função periódica como uma soma de senos e cossenos. No nosso caso, como a função 
  é par e definida em 
 , vamos usar a série de Fourier do tipo senoidal.
Passo 3
A série de Fourier para uma função 
  definida em 
  e estendida como uma função ímpar no intervalo 
  é dada por:
Onde os coeficientes 
  são calculados por:
No nosso caso, 
  e 
 , então os coeficientes ficam:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente 
 :
A integral de 
  é:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que 
 . Então:
Perceba que quando 
  é par, 
 , então 
 . Quando 
  é ímpar, 
 , então:
Portanto, somente os termos ímpares contribuem para a série.
Passo 6
Agora, substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Isso significa que nossa série é composta apenas por senos de múltiplos ímpares de 
 .
Passo 7
Para construir o prolongamento periódico, entendemos que a função originalmente definida em 
  será estendida de forma ímpar para todo o eixo real, repetindo-se a cada 
 . Ou seja, a função será periódica com período 
  e preservar�� a forma dos senos na série de Fourier encontrada.
Resposta
A série de Fourier da função 
  no intervalo 
  é:
E o prolongamento periódico dessa função é uma função ímpar com período 
 , construída a partir dessa série de senos.