Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber se a série
converge ou diverge. Além disso, se ela convergir, precisamos descobrir se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como temos aqui com
. Para verificar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos
forem positivos, decrescentes e o limite de
quando
tende ao infinito for zero, então a série converge.
Passo 3
Vamos analisar os termos
:
- Positividade:
para todo , então . - Decrescimento: Vamos ver se
diminui conforme aumenta. Calculando , percebemos que , então os termos são decrescentes. - Limite: Calculamos
: Portanto, o limite é zero.
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, a série converge.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos analisar a série dos valores absolutos:
Essa é uma série telescópica. Vamos somar os primeiros
termos:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito, o que significa que a série dos valores absolutos diverge.
Passo 5
Como a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a convergência é condicional.
Resposta
A série
converge condicionalmente.