Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. sumk=0^infty(-1)^k(raizk+1-raizk)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber se a série converge ou diverge. Além disso, se ela convergir, precisamos descobrir se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal, como temos aqui com . Para verificar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos forem positivos, decrescentes e o limite de quando tende ao infinito for zero, então a série converge.

Passo 3

Vamos analisar os termos limk to infty (raizk + 1 - raizk) = limk to infty 1raizk + 1 + raizk = 0 :
  1. Positividade: para todo , então .
  2. Decrescimento: Vamos ver se diminui conforme aumenta. Calculando , percebemos que , então os termos são decrescentes.
  3. Limite: Calculamos : Portanto, o limite é zero.
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, a série converge.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumk=0^infty | (-1)^k (raizk + 1 - raizk) | = sumk=0^infty (raizk + 1 - raizk)
Essa é uma série telescópica. Vamos somar os primeiros sumk=0^n (raizk + 1 - raizk) = raizn + 1 - raiz0 = raizn + 1 termos:
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito, o que significa que a série dos valores absolutos diverge.

Passo 5

Como a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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