Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. sumk=1^infty(-1)^k+1 k^2+1k^2+k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Além disso, se ela convergir, precisamos saber se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas, o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o fator faz os termos da série alternarem entre positivos e negativos conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência da série. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se é decrescente. Observando a expressão , conforme aumenta, o numerador e o denominador crescem, mas o denominador cresce um pouco mais rápido devido ao termo . Assim, os termos estão diminuindo.

Passo 5

Agora, a segunda condição: calcular limk to infty 1 + 1k^21 + 1k = 1 + 01 + 0 = 1 . Podemos dividir o numerador e o denominador por :
Então, o limite é 1, e não zero. Isso significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é atendida.

Passo 6

Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite não é zero), podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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