Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Além disso, se ela convergir, precisamos saber se a convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas, o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque o fator
faz os termos da série alternarem entre positivos e negativos conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência da série. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: se
é decrescente. Observando a expressão
, conforme
aumenta, o numerador e o denominador crescem, mas o denominador cresce um pouco mais rápido devido ao termo
. Assim, os termos
estão diminuindo.
Passo 5
Agora, a segunda condição: calcular
. Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, o limite é 1, e não zero. Isso significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é atendida.
Passo 6
Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite não é zero), podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.