Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
y''(t) - y(t) = t^2 e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para encontrar uma solução particular dessa equação, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar identificar a forma da solução particular e ajustar os coeficientes para que tudo fique certinho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a forma da função do lado direito da equação, que é . Quando a solução não homogênea (lado direito) é desse tipo, a gente geralmente propõe uma solução particular que tenha a mesma estrutura, mas com coeficientes a serem determinados.

Passo 3

Vamos supor que a solução particular seja do tipo:
Aqui, A, B e C são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 5

Vamos substituir e suas derivadas na equação original:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo t, os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Portanto, temos:
  • Para t^2: Não há termo no lado esquerdo, então (o que não faz sentido, precisamos ajustar nossa suposição inicial).
    Isso indica que nossa suposição precisa ser modificada. Na verdade, como e^t é solução da equação homogênea associada, devemos multiplicar nossa suposição por t para evitar redundância:
Agora, refazendo os cálculos com essa nova suposição:
Calculando as derivadas e substituindo na equação, obteremos um sistema de equações que nos permitirá encontrar os valores de A, B e C:
  • Igualando os coeficientes, resolvemos o sistema e encontramos:

Resposta

A solução particular da equação é:

Exercícios relacionados