Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para encontrar uma solução particular dessa equação, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar identificar a forma da solução particular e ajustar os coeficientes para que tudo fique certinho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a forma da função do lado direito da equação, que é
. Quando a solução não homogênea (lado direito) é desse tipo, a gente geralmente propõe uma solução particular que tenha a mesma estrutura, mas com coeficientes a serem determinados.
Passo 3
Vamos supor que a solução particular
seja do tipo:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 5
Vamos substituir
e suas derivadas na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Portanto, temos:
- Para
: Não há termo no lado esquerdo, então (o que não faz sentido, precisamos ajustar nossa suposição inicial).
Isso indica que nossa suposição precisa ser modificada. Na verdade, comoé solução da equação homogênea associada, devemos multiplicar nossa suposição por para evitar redundância:
Agora, refazendo os cálculos com essa nova suposição:
Calculando as derivadas e substituindo na equação, obteremos um sistema de equações que nos permitirá encontrar os valores de
,
e
:
- Igualando os coeficientes, resolvemos o sistema e encontramos:
Resposta
A solução particular da equação é: