Determinar o vetor normal ao plano \pi nos seguintes casos:
\pi: \quad \mathrm{X}=(0,0,1)+\lambda(0,0,1)+\mu(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá o plano \pi definido pela equação paramétrica
X=(0,0,1)+\lambda(0,0,1)+\mu(1,0,-1)
e pede para determinar um vetor normal a esse plano. Vamos usar o fato de que o vetor normal de um plano definido por vetores diretores é dado pelo produto vetorial desses vetores.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores de \pi como
\mathbf{v}=(0,0,1) e \mathbf{w}=(1,0,-1).
A teoria diz que um vetor normal \mathbf{n} a \pi pode ser obtido por
\mathbf{n} = \mathbf{v} \times \mathbf{w}.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = \mathbf{j}.

Passo 4

Logo, um vetor normal ao plano \pi é
\mathbf{n}=(0,1,0).
Note que qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também funciona como vetor normal.

Resposta

Um vetor normal ao plano \pi é (0,1,0).

Exercícios relacionados